1. Свойства неравенств:
а) при умножении или делении неравенства на положительное число
смысл неравенства не меняется;
б) при умножении или делении неравенства на отрицательное число
смысл неравенства меняется на противоположный;
в) прибавление или вычитание одного и того же числа к каждой части
неравенства не меняет смысла неравенства;
г) замена деления умножением при нулевой правой части:
если , то A∙B < 0;
если , то A∙B > 0;
2. Квадратные неравенства a∙x2 + b∙x + c < 0 или > 0 при a > 0.
а) D = b2 − 4∙a∙c > 0;
xм, xб – корни квадратного трехчлена a∙x2 + b∙x + c = 0;
если a∙x2 + b∙x + c < 0, то одно решение: xм < x < xб;
если a∙x2 + b∙x + c > 0, то два решения: x < xм и x > xб;
б) D = b2 − 4∙a∙c < 0;
нет корней;
если a∙x2 + b∙x + c < 0, то нет решения, т.е. xØ;
если a∙x2 + b∙x + c > 0, то решение: −∞ < x < +∞;
3. Логарифмирование неравенств
если M < N, то
при a > 1 logaM < logaN; (смысл неравенства не меняется)
при 0 < a < 1 logaM > logaN; (смысл неравенства меняется
|
|
на противоположный)
4. Потенцирование неравенств (избавление от логарифмов)
если logaM < logaN, то
при a > 1 0 < M < N; (смысл неравенства не меняется)
при 0 < a < 1 M > N > 0; (смысл неравенства меняется
на противоположный)
5. Показательные неравенства
если aM < aN, то (обязательно a = const;)
при a > 1 M < N (смысл неравенства не меняется)
при 0 < a < 1 M > N (смысл неравенства меняется
на противоположный)
6. Модули
если │A│ < 5, то −5 < A < 5;
если │A│ > 7, то A > 7 или A < −7;
если │A│ > −3, то −∞ < A < +∞;
если │A│ < −2, то неравенство не имеет смысла, т.е. AØ;
= ;
= ;
7. Возведение в квадрат возможно только тогда, когда обе части
неравенства положительны.
8. Возведение в куб возможно всегда.
9. График квадратного трёхчлена:
парабола y = a∙x2 + b∙x + c;
вершина параболы: точка A(x0, y0)
x0 = −
y0 = a∙x+ b∙x+ c; (подставляем x0 в уравнение параболы)
направление ветвей параболы:
при a > 0 вверх;
при a < 0 вниз;
точка пересечения с осью oy: при x = 0 y = c;
точки пересечения с осью ox: корни x1 и x2;
10. График гиперболы (обязательно должно быть m ≠ 0):
вертикальная асимптота: m∙x + n = 0; x = −
горизонтальная асимптота: y =
точка пересечения с осью oy: при x = 0 y = ; (при n ≠ 0)
если встречается случай n = 0, то гипербола не пересекает ось oy;
точка пересечения с осью ox: a∙x + b = 0; x = −(при a ≠ 0)
если a = 0, то гипербола не пересекает ось ox.
11. Разложение квадратного трёхчлена на множители
a∙x2 + b∙x + c = a∙(x – x1)∙(x – x2),
где x1 и x2 – корни трёхчлена;
12. Некоторые классические неравенства: