Векторы и координаты

1) векторы на плоскости:

скалярное произведение:

признак коллинеарности: или

признак перпендикулярности: x₁∙x₂ + y₁∙y₂ = 0;

2) векторы в пространстве:

скалярное произведение:

признак коллинеарности: или

признак перпендикулярности: x₁∙x₂ + y₁∙y₂ + z₁∙z₂ = 0;

признак компланарности трёх векторов:

x₁ y₁ z₁

x₂ y₂ z₂ = 0;

x₃ y₃ z₃

векторное произведение двух векторов:

i j k

= x₁ y₁ z₁; = S_{параллелограмма} = 2∙S_Δ;

x₂ y₂ z₂

смешанное произведение трёх векторов:

x₁ y₁ z₁

= = x₂ y₂ z₂;

x₃ y₃ z₃

объём параллелепипеда: V_парал = ││;

объём пирамиды: V_пирам = V_парал = ││;

3) аналитическая геометрия на плоскости:

расстояние между двумя точками M₁(x₁ ; y₁) и M₂(x₂ ; y₂)

;

уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂)

;

деление отрезка M₁M₂ в данном отношении λ

координаты середины отрезка (M₁M = MM₂, т.е. λ = 1)

уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀; y₀) перпендикулярно

вектору ()

A∙(x – x₀) + B∙(y – y₀) = 0;

уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящей через

точку M₀(x₀; y₀)

y – y₀ = k∙(x – x₀);

острый угол между двумя прямыми y = k₁∙x + b₁ и y = k₂∙x + b₂

условие параллельности двух прямых: k₁ = k₂;

условие перпендикулярности двух прямых: k₁∙k₂ = −1;

расстояние от точки M₀(x₀; y₀) до прямой A∙x + B∙y + C = 0

площадь треугольника с вершинами A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃)

или в другом виде то же самое

x₁ y₁ 1

S_∆ABC = , где D = x₂ y₂ 1;

x₃ y₃ 1

уравнение окружности радиуса R

(x – a)² + (y – b)² = R²; центр в точке A(a; b)

x² + y² = R²; центр в точке O(0; 0)

4) аналитическая геометрия в пространстве:

расстояние между двумя точками M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂)

;

уравнение прямой в каноническом виде, проходящей через две точки

M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂)

;

деление отрезка M₁M₂ в данном отношении λ

координаты середины отрезка (M₁M = MM₂, т.е. λ = 1)

уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀; y₀; z₀)

перпендикулярно вектору

()

A∙(x – x₀) + B∙(y – y₀) + C∙(z – z₀) = 0;

расстояние от точки M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃):

x – x₁ y – y₁ z – z₁

x₂ – x₁ y₂ – y₁ z₂ – z₁ = 0;

x₃ – x₁ y₃ – y₁ z₃ – z₁

уравнение сферы радиуса R

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²; центр в точке A(a; b; c)

x² + y² + z² = R²; центр в точке O(0; 0; 0)