Теорема 3. Теоремы умножения вероятностей

Теоремы умножения вероятностей.

Теоремы сложения вероятностей.

Теорема 1.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Доказательство: Пусть n-общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие А или В. m-число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

k-число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Тогда событию А+В будет благоприятствовать (m+k) – элементарных событий.

Получим P(A+B)= = P(A)+P(B).

Следствие1.

Сумма вероятностей противоположных событий ровна 1.

Р(А)+Р)=1

Доказательство: Р(А)+ Р)=Р(А+)=Р(U)=1

Следствие 2.

Сумма вероятностей случайных событий,образующих полную группу,равна1.

=P(U)=1

Распространим теорему 1 на любое число несовместных событий.

Получим:

Теорема 2.

Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного осуществления.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Пусть n- общее число элементарных событий. m-число элементарных событий, благоприятствующих событию А. k- число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

Пусть среди (m+k) - элементарных событий имеется l-событий, благоприятствующих и событию А и В одновременно. Тогда событию А+В будет благоприятствовать (m+k-l) элементарных событий.

Следовательно, получим:

P(A+B)= =Р(А)+ P(B)-P(AB).

События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В).

Доказательство: Пусть -общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие А.

- общее число элементарных событий, в результате которых может произойти событие B.

- число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

- число элементарных событий, благоприятствующих событию В.

– элементарных событий.

Получим: P(A*B) = P(A)*P(B).

Распространим эту теорему на любое число независимых событий.

Пример. В урне находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(А) = 1/3; условная вероятность появления крас­ного шара во втором извлечении при условии появления в пер­вый раз белого шара Р_A(В) = 5/11; условная вероятность по­явления синего шара в третьем извлечении при условиях по­явления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров Р_AB(С) = 0,3. Искомая вероятность определяется по формуле при п = 3: