Свойства дисперсии. Основные числовые характеристики случайных величин

Основные числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства.

Лекция 6.

Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина и законы распределения.Математическое ожидание случайной величины и его свойства.

Под случайной величиной,связанной с некоторым испытанием понимается всякая величина, которая при осуществлении испытания принимает, то или иное числовое значение.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина,которая принимает отдельные,изолированные друг от друга, значения с определенными вероятностями

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения случайной величины Х

2)многоугольник распределения.

По оси х - откладывается значения, по оси у- их вероятности.Соединив их ломанной, получим многоугольник распеределения.

Математическим ожиданием случайной величины Х называется число, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

1), где;

2)

3)

4)

5 ) М(М(Х))=М(Х)

Дисперсия и её свойства

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

D(X)=M(X-M(

Дисперсия показывает степень разброса случайной величины относительно её математического ожидания.

D(X)= -формула для вычисления дисперсии

1)

2).

3)

Пример. Банк выдал ссуды п разным заемщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти матема­тическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также усло­вие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании рав­на q = 1 - р. Пусть Х — число заемщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется фор­мулой

где Х является случайной величиной с биномиальным зако­ном распределения. Тогда, согласно теореме, математи­ческое ожидание прибыли определяется с использованием фор­мулы

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положитель­ном математическом ожидании прибыли (положительная сред­няя величина прибыли), то из условия М( П ) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

Дисперсия прибыли банка находится с использованием формулы и свойств

Средним квадратическим отклонением случайной величины(Х) называется.

Модой ((х))случайной величины называется наиболее вероятное ее значение, то есть значение вероятность которого максимальна.

Если максимальные вероятности принимают несколько значений случайных величин, то такое распределение называется полимодальным.

Пример Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	-1
	0,1	0,2	0,1	0,6

Найти числовые характеристики СВ:M(X),D(X), Ϭ(X), моду.

Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

СКО:

Мода равна 2.