2014-02-24
1798
Пример
Пример
Пример
2.
1.
Тема: Первообразная. Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной в неопределенном интеграле.
1.1. Первообразная
Определение. Первообразной для функции в интервале называется функция, производная которой равна, т.е..
Пример. Найти первообразную для функции,, так как. Легко заметить, что любая функция является первообразной для функции, где – const.
Таким образом, если функция имеет одну первообразную, то имеет бесконечно много первообразных т.к..
Теорема: Если функция в интервале имеет первообразную, то любая другая первообразная отличается от данной на константу.
Доказательство: Пусть и – две первообразные для функции в интервале, т.е. и. Рассмотрим функцию.
Функция дифференцируема в интервале как разность двух дифференцируемых функций. Следовательно, непрерывна в интервале. Рассмотрим произвольный отрезок принадлежащий. Функция непрерывна на отрезке, дифференцируема в интервале. Следовательно, на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по которой выполняется равенство, где некоторая точка интервала.
Имеем.Поэтому и. Отсюда следует, что и. ▼
В дальнейшем будет доказано, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.
1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства.
Определение: Неопределенным интегралом для функции называют совокупность всех ее первообразных.
Неопределенный интеграл обозначается.
, где какая-либо одна из первообразных для. называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
Доказательство. Пусть одна из первообразных функции, тогда
.
Таким образом, действие интегрирования проверяется дифференцированием.
Свойство 2 вытекает из свойства 1.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4..
Таблица интегралов.
Из определения интеграла и формул дифференцирования функций следуют равенства:
| 1) 2) 3) 4) 5) 6) | 7) 8) 9) 10) 11) |
Все формулы проверяются дифференцированием.
Так из равенства:
следует справедливость второй формулы.
Проверим теперь формулу 3 при.
Имеем: и.
В последнем равенстве применили правило дифференцирования сложной функции.
1.3. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Замена переменной в неопределенном интеграле есть действие обратное дифференцированию сложной функции.
Справедливо равенство:
, где (1)
В самом деле, пусть первообразная для тогда
Использование формулы (1) слева направо называется подведением под знак дифференциала.
Приведем некоторые примеры:
, где
В данном примере подводим под знак дифференциала 2х
Имеем: отсюда.
Пример, где
, т.к.
В дальнейшем мы покажем использование формулы (1) замены переменной справа налево.
