Тема: Интегрирование четных и нечетных функций. Несобственные интегралы

7.1. Интегрирование четных и нечетных функций.

Пусть - четная функция на отрезке, т.е.. Рассмотрим интеграл

В интеграле сделаем замену переменной.

В результате получим

Пусть нечетная функция на отрезке, т.е..

Как и в предыдущем случае в интеграле сделаем замену. В результате получим:.

.

7.2. Несобственные интегралы.

До сих пор мы рассматривали интегралы, для которых отрезок конечен и функция ограничена на отрезке. При этом.

На практике часто встречаются случаи, когда задана на бесконечном промежутке и непрерывна на нем либо задана на конечном отрезке, но неограниченна на нем. Если промежуток бесконечен, то при любом разбиении его на конечное число частей один из промежутков будет бесконечным, сумма равна, а не существует. Если же определена на конечном отрезке, но неограниченна, то всегда существует отрезок разбиения, на котором неограниченна и на этом отрезке можно выбрать точку так, что, где М наперед заданное число и в этом случае не существует.

Если задана на бесконечном промежутке и непрерывна на нем либо задана на конечном промежутке и неограниченна на нем, то интегралы от таких функций определяются с помощью предельного перехода и эти интегралы называются несобственными.

7.2.1. Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку.

Пусть задана и непрерывна на промежутке.

Рассмотрим интеграл, этот интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке.

Положим по определению

. (1)

Интеграл называется несобственным интегралом. Если предел в равенстве (1) существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел в равенстве (1) не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть теперь функция задана и непрерывна на промежутке.

Несобственный интеграл определяется аналогично:

Далее, пусть функция задана и непрерывна на всей числовой оси.

Несобственный интеграл определяется следующим образом:

,

при условии, что оба интеграла справа сходятся.

Заметим, что вместо 0 можно взять любое конечное число а и при этом сходимость несобственного интеграла и его значение не изменится.

Геометрический смысл несобственного интеграла.

Если непрерывна и положительна в промежутке, то несобственный интеграл есть площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямой и графиком функции. Если несобственный интеграл сходится, то соответствующая криволинейная трапеция имеет площадь равную несобственному интегралу. Если же несобственный интеграл расходится, то криволинейная трапеция площади не имеет.

Механический смысл несобственного интеграла.

Если непрерывна и неотрицательна на промежутке, то есть масса стержня с плотностью.

Пример. Вычислить

1) Пусть, тогда

2);.

Следовательно, при несобственный интеграл расходится, а при сходится.

Пример. Вычислить интеграл.

.

Пример. Вычислить

7.2.2. Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке, но неограниченных на этом отрезке.

Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке.

Рассмотрим произвольное.

Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке.

Несобственный интеграл определяется следующим равенством

.

Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу:

, где;.

Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве.

Несобственный интеграл определяется следующим равенством:

, если оба интеграла справа существуют.

Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.

Можно показать, что сходимость интеграла и его значение не зависят от выбора точки с.

Пример. Вычислить интеграл.

1)

2).

Таким образом, несобственный интеграл, сходится, а при расходится.

С геометрической точки зрения несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, осью OY, прямой и графиком функции при.

7.2.3. Признаки сходимости несобственных интегралов.

В данном пункте под несобственным интегралом мы будем понимать какой-либо из ранее рассмотренных несобственных интегралов. В частности, a и b могут равняться.

Теорема 1. Если в рассматриваемом промежутке выполняются неравенства, то из сходимости несобственного интеграла следует сходимость несобственного интеграла, а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла. (Без док-ва).

Определение. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл.

Теорема 2. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. (Без док-ва).

Пример. Исследовать на сходимость интеграл.

- сходится (см. п. 7.1.1.). По теореме 1 сходится интеграл. Это означает, что данный интеграл сходится абсолютно. Следовательно, по теореме 2 данный интеграл сходится.

Отметим, что данные рассуждения не позволяют найти точное значение интеграла.