2014-02-24
749
Тема: Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле.
Лекция 6.
6.1. Интеграл с переменным верхним пределом.
Пусть непрерывная функция на отрезке. Рассмотрим интеграл, где верхний предел. Верхний предел x и x под знаком интеграла разные и имеют разный смысл. Верхний предел x является произвольной фиксированной точкой отрезка, а x под знаком интеграла является переменной, которая изменяется от a до верхнего предела x. Интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом, т.к. верхний предел x может принимать любое значение из отрезка. По условию непрерывна на любом отрезке,, то по теореме существования интеграл существует для любого, поэтому является функцией от x.
Далее покажем, что функция является дифференцируемой функцией.
Теорема. Если непрерывна на отрезке, то производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, т.е. является первообразной для подынтегральной функции на,
Доказательство.
По определению производной
где с расположено между и.
Последнее равенство имеет место в силу теоремы о среднем. Подставляя вместо полученное выражение, будем иметь
.
Точка с расположена между и, поэтому при. Так как непрерывна в точке x, то. ▼
6.2. Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Справедлива формула, где Ф(x) какая-либо первообразная для подынтегральной функции.
Доказательство.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом. Этот интеграл является первообразной для функции. Пусть – произвольная другая первообразная для. Две различные первообразные для функции различаются на константу. Поэтому. Положим верхний предел, тогда получим:, отсюда,. В последнем интеграле вместо верхнего предела x подставим, тогда получим:. ▼
Пример. Вычислить
6.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема. Справедлива формула.
Доказательство. Имеем:.
Почленно проинтегрируем последнее равенство
. ▼
Пример. Вычислить
.
Пример. Вычислить
;
;
К последнему интегралу применим еще раз формулу интегрирование по частям.
;
;
Пример. Вычислить
;
;
6.4. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть непрерывна на отрезке и, а функция непрерывна на отрезке.
Справедлива формула
.
Доказательство. Так как непрерывна на, то она на этом отрезке имеет первообразную, которую обозначим.
Функция является первообразной для функции на отрезке.
В самом деле, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:, где.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим:. ▼
Пример. Вычислить
Сделаем замену
Если, то, если, то
Следовательно,
