Тема: Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений

3.1. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Выделим в числителе производную знаменателя

В подынтегральной функции в знаменателе выделим полный квадрат

Сначала в числителе выделим производную квадратного трехчлена

В последнем интеграле сделаем замену переменной

Нам остается вычислить интеграл

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям

В результате получим

Итак, мы получили рекуррентную (возвратную) формулу

Применяя рекуррентную формулу вычисления интеграла можно свести к вычислению интеграла

Пример. Вычислить.. В данном интеграле

, где.

Для вычисления снова применим рекуррентную формулу, где.

Учитывая полученное, будем иметь:

Пример. Вычислить интеграл. Во-первых, отметим, что подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, т.к. степень числителя больше степени знаменателя, поэтому поделим числитель на знаменатель и представим данную неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Итак, имеем:

Теперь остается вычислить интеграл от правильной рациональной дроби. Для этого подынтегральную правильную рациональную дробь представили в виде суммы простейших рациональных дробей

Учитывая полученный результат, будем иметь:

3.2. Интегрирование тригонометрических выражений.

Мы будем рассматривать

, где есть рациональная функция от и. Т.е. если положить, a, то есть отношение двух многочленов от.

Например:

Далее функция

не является рациональной функцией от и, т.к. входит под знак корня.

3.2.1. Универсальная подстановка.

Интеграл с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции:

В результате получаем:

Пример. Вычислить интеграл, пользуясь указанной заменой переменной,,, получим:

Пример. Вычислить интеграл

3.2.2. Теперь предположим, что, т.е. подынтегральная функция нечетная относительно. В этом случае имеем:

В этом случае была сделана замена, и вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Пример. Вычислить интеграл:

3.2.3. Пусть, т.е. подынтегральная функция нечетная относительно. В этом случае замена сводит вычисление к вычислению интеграла от рациональной функции.

3.2.4. Теперь рассмотрим тот случай, когда

, т.е. подынтегральная функция четная относительно и одновременно. В этом случае замена позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла от рациональной функции. В самом деле,

, т.к.

, то функция является четной относительно, поэтому и

.

В результате замены переменной получим:

Пример. Вычислить интеграл.

Подынтегральная функция является четной относительно и одновременно. Поэтому можно применить подстановку:,. Имеем:

В последнем интеграле подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которую представим в виде суммы простейших рациональных дробей