Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Тема: Интегрирование по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.
2.1. Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения.
Имеем:
Проинтегрируем обе части равенства:
отсюда получаем:
В интеграле еще раз применим интегрирование по частям:
В данном примере интегрирование по частям применено дважды.
, где
Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь, числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!
2.2. Интегрирование заменой переменной.
Рассмотрим формулу (1) в следующем виде:
, где обратная функция для функции. Обратим внимание на то, что при замене переменной последняя функция должна иметь обратную.
В данном интеграле сделана замена. Сложность заключается в том, что таких замен бесконечно много и нужно подобрать такую, чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного.
2.3. Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие.
Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.
, где и многочлены соответственно степеней m и n.
Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е., в противном случае рациональная дробь – неправильная.
Всякая неправильная дробь всегда может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.
Отсюда следует, что интегрирование неправильной рациональной дроби всегда можно свести к интегрированию правильной рациональной дроби.
В дальнейшем мы покажем, что всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей.
К простейшим рациональным дробям относятся дроби:
1)
2)
3)
4)
Пусть дана правильная рациональная дробь.
Коэффициент при у многочлена можно считать равным 1. Этого можно достичь, деля числитель и знаменатель на одно и то же число.
Многочлен имеет ровно n корней, учитывая их кратность, т.е.:
, где действительные корни, комплексные корни, кратность соответствующих корней.
Так как – многочлен с действительными коэффициентами, то каждому комплексному корню соответствует сопряженный комплексный корень той же кратности.
Пусть комплексный корень кратности, тогда тоже корень кратности. Поэтому в многочлене будет присутствовать произведение:
где
Следовательно, многочлен всегда можно представить в следующем виде:
.
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей в следующем виде:
где А, В, С с соответствующими индексами – неопределенные коэффициенты.
(теорема без доказательства)
Неопределенные коэффициенты находятся следующим образом: равенство (2) приводят к общему знаменателю, которым является. Затем приравниваем числители в левой и правой части полученного равенства. Далее приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части последнего равенства. В результате получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Решая эту систему, найдем неопределенные коэффициенты.
Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию простейших рациональных дробей.