2014-02-24
838
Понятие дифференциала функции.
Пусть фукция y=f(x) дифференцируема при некотором значении х 0. Следовательно, в точке х существует конечная производная 
По определению предела 
Эта величина называется бесконечно малой при 
Найдем 
: 
.
y’ от 
не зависит, она остается постоянной при
Если 
то 
- является бесконечно малой величиной того же порядка малости, что и .
- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое слагаемое. Поэтому 
, величину (
) называют главной, линейной относительной частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет это выражение.
Поэтому при малых значениях приращение функции можно заменить , т.е.
и
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом функции в точке х и обозначают dy или df(x), следовательно 
или 
Дифференциал равен произведению ее производной на приращение независимой переменной.
f(x)=x, dx=x’=, , 
Рассмотрим график дифференцируемой функции y=f(x). Пусть М и М’ – точки графика, имеющие соответственно координаты М(х; у) и 
y
M1
 |
∆y
N dy
|
М Р
x x+∆x 
x
MN- касательная к графику y=f(x).
При изменении аргумента от x до 
ордината точки M графика функции получит приращение 
, а ордината касательной -приращение 
;
, 
,
- дифференциал функции.
Таким образом, дифференциал функции y=f(x) равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x;y) при изменении x на величину 
. В этом и состоит геометрический смысл дифференциала. 
, 
.
