Понятие дифференциала функции.
Пусть фукция y=f(x) дифференцируема при некотором значении х 0. Следовательно, в точке х существует конечная производная По определению предела
Эта величина называется бесконечно малой при Найдем : .
y’ от не зависит, она остается постоянной при
Если то - является бесконечно малой величиной того же порядка малости, что и .
- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое слагаемое. Поэтому , величину () называют главной, линейной относительной частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет это выражение.
Поэтому при малых значениях приращение функции можно заменить , т.е.
и
Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом функции в точке х и обозначают dy или df(x), следовательно или
Дифференциал равен произведению ее производной на приращение независимой переменной.
f(x)=x, dx=x’=, ,
Рассмотрим график дифференцируемой функции y=f(x). Пусть М и М’ – точки графика, имеющие соответственно координаты М(х; у) и
|
|
y
M1
∆y
N dy
|
М Р
x x+∆x x
MN- касательная к графику y=f(x).
При изменении аргумента от x до ордината точки M графика функции получит приращение , а ордината касательной -приращение ;
, ,
- дифференциал функции.
Таким образом, дифференциал функции y=f(x) равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x;y) при изменении x на величину . В этом и состоит геометрический смысл дифференциала. , .