Основные теоремы дифференциального исчисления

Лекция № 11-12

Список используемой литературы

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с
3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.
6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

Тема «Производная»

Цель: изучитьосновные теоремы дифференциального исчисления, правило Лопиталя, научить применять производную для исследования функций.

Ключевые слова: непрерывная функция, дифференцируемая функция, радиент.

Вопросы:

1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

2. Правило Лопиталя.

3. Производные высших порядков.

4. Исследование функций и построение их графиков.

5. Приложение производной в экономике.

Теорема Ролля. Пусть функция y= f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на [a;b],

2) дифференцируема в интервале (a;b),

3) на концах интервала функция принимает равные значения т.е. f(а)= f(b)

тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю:

Если , то говорят, что между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции, имеется хотя бы один нуль ее производной, т.е. .

Теорема Лагранжа. Пусть функция y= f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1)непрерывна на [a;b]

2)дифференцируема на (a;b),

тогда существует такая точка , что -

- формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой АВ найдется точка М(с;f(с)) в которой касательная параллельна хорде АВ.

Теорема Лагранжа дает возможность установить признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

Теорема Коши. Если функции непрерывны на [a;b] и дифференцируемы в (a;b), причем , тогда существует такая точка ,что справедлива формула .