Достаточные условия экстремума

Достаточные условия экстремума для функции выражаются с помощью определителя:

, где

,

а именно:

1) если , то - точка экстремума:

при A<0 (или C<0)- точка max?

при A<0 (или C>0)- точка min,

2) если , то в точке нет экстремума;

3) если , то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции остается открытым.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию:

.

Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:

Решаем систему уравнений для определения стационарных точек:

или ;

;

. Тогда . Получаем две стационарные точки Вычислим значения частных производных второго порядка в этих точках:

Находим определители:

Так как , то в точке нет экстремума.

Так как и , то в точке функция имеет максимум:

.