Общие понятия

15 16 17 18 19 20 21

Лекция № 25-28

Список используемой литературы

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.

2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с

3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с

4. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.

5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.

6. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.

Тема «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Цель: дать общие понятия дифференциальных уравнений первого порядка, привить навыкирешения линейного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, дифференциальные уравнения первого порядка

Вопросы:

1.Общие понятия.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка.

3.Геометрический смысл дифференциального уравнения.

4.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными.

5.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

6.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

7.Решение линейного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной.

Уравнения связывающие между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные различных порядков по x называются дифференциальными уравнениями. Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

(1) – общий вид дифференциального уравнения n-го порядка.

Например: - дифференциальное уравнение II – порядка, - дифференциальное уравнение V порядка.

Дифференциальное уравнение (1) называется линейным, если левая часть его первой степени относительно функции y и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

(2)

- функции от x называются коэффициентами линейного уравнения, а функция f(x) – правой частью или свободным членом его. Если f(x)=0, то (2) называется однородным (или без правой части) в противном случае это уравнение называется неоднородным (или с правой частью).

Решением дифференциального уравнения называется функция (3), которая вместе со своими производными удовлетворяет уравнению (1), т.е. обращает его в тождество. Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциального уравнения. В общем случае для нахождения решений уравнения (1) потребуется n последовательных интегрирований, следовательно, решение общего вида будет содержать n произвольных постоянных, причем эти произвольные постоянные независимые, т.е. любую из них нельзя выразить через другие, число их равно порядку дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция (4),

которая зависит от аргумента x и n независимых произвольных постоянных , обращающая вместе со своими производными уравнение (1) в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде будет:

(5)

Частным решением уравнения (1) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянными определенные числовые значения.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции y, производная которой равна данной функции f(x), сводится к решению простейшего дифференциального уравнения.

, ,