Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными.
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными называются уравнения вида
(11)
или уравнение, которое приводится к этому виду. Функции M(x), N(y), P(x), Q(y) – непрерывные. Пусть Разделив обе части уравнения (11) на произведение, получим (12)
Интегрируя, найдем общий интеграл уравнения (11)
(13)
В уравнении (12) при dx стоит функция только от x, а при dy функция от y. В таком случае говорят, что переменные разделены. Соотношение (13) представляет собой общий интеграл уравнения (11), выраженный в неявной форме.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
Решение. ,
,,
- общее решение
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение. Многочлен называется однородным измерения n, если все его члены имеют одно и то же измерение n, т.е. для каждого члена этого многочлена сумма показателей i+j=n
Определение. Дифференциальное уравнение
или (15)
называется однородным, если функция f(x,y) однородная нулевой степени.
Уравнение (15) запишем в таком виде: (16)
Введем новую переменную или (17)
, подставив в (16), получим:
Однородное дифференциальное уравнение (15) приводится к уравнению с разделяющими переменными
. Следовательно, (18)
В левой части (18) найдем интеграл, вместо u подставим отношение и получим искомый общий интеграл.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
. (х+у) и х - однородные функции 1-го измерения, поэтому уравнение однородное.
Полагаем , ,
,
, , делим на х,
, ,
, ; ; , где
Ответ: