2014-02-24
754
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными.
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными называются уравнения вида
(11)
или уравнение, которое приводится к этому виду. Функции M(x), N(y), P(x), Q(y) – непрерывные. Пусть 
Разделив обе части уравнения (11) на произведение, получим 
(12)
Интегрируя, найдем общий интеграл уравнения (11)
(13)
В уравнении (12) при dx стоит функция только от x, а при dy функция от y. В таком случае говорят, что переменные разделены. Соотношение (13) представляет собой общий интеграл уравнения (11), выраженный в неявной форме.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
Решение. 
, 
,
, 
- общее решение
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение. Многочлен 
называется однородным измерения n, если все его члены имеют одно и то же измерение n, т.е. для каждого члена этого многочлена сумма показателей i+j=n
Определение. Дифференциальное уравнение
или 
(15)
называется однородным, если функция f(x,y) однородная нулевой степени.
Уравнение (15) запишем в таком виде: 
(16)
Введем новую переменную 
или 
(17)
, подставив в (16), получим:
Однородное дифференциальное уравнение (15) приводится к уравнению с разделяющими переменными
. Следовательно, 
(18)
В левой части (18) найдем интеграл, вместо u подставим отношение 
и получим искомый общий интеграл.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
. (х+у) и х - однородные функции 1-го измерения, поэтому уравнение однородное.
Полагаем , 
, 
, 
, 
, делим на х,
, 
, 
, 
; 
; 
, где 
Ответ: 
