Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд (1) сходится, то общий член Un стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

(5)

Доказательства этого признака изложено в учебниках.

Рассмотрим примеры:

1.Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда:

Общий член Un=, найдем его предел

Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, поэтому этот ряд расходится.

Условие является необходимым, но не достаточным. Существуют расходящиеся ряды, для которых.Таким рядом является гармонический ряд.

Ряд 1+ (6)

Ряд называется гармоническим, если каждый его член, начиная со второго, есть среднее гармоническое соседних двух членов (число с называется средним гармоническим чисел а и b если .

Необходимое условие для ряда (6) выполняется.

Однако в учебниках показано, что этот ряд (6) является расходящимся.

Ряд вида (7) называется обобщенным гармоническим рядом и при p>1 сходится, при расходится.