Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(9)

где p и q – данные постоянные числа или непрерывные функции от x, f(x) – правая часть уравнения, известная функция от x.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения, т.е. (10)

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно найти, остается лишь указать способ нахождения частного решения Z соответствующего неоднородного уравнения.

Рассмотрим несколько случаев отыскания частных решений уравнения (10) методом неопределенных коэффициентов.

3.1. Правая часть уравнения (10) – показательная функция: (11)

Ищем частное решение Z также в форме показательной функции , где А – неопределенный коэффициент. .

Подставляя в (9) получим

; .

Сокращаем на , то

Возможны два случая:

а) m – не является корнем характеристического уравнения, т.е. (12)

тогда , вместо А подставляя (12), получим

(13)

б) m – простой корень характеристического уравнения , тогда (10) не имеет частного решения в форме . В этом случае решение следует брать в более сложной форме (14)

Пример 1. ;

- характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения

.

Решим характеристическое уравнение:

- общее решение соответствующего однородного уравнения.

m=2 не является корнем характеристического уравнения, значит

Подставляем в данное уравнение:

; ; Значит, частное решение .

Общее решение данного уравнения

3.2. Правая часть неоднородного уравнения (10) – тригонометрический полином

(15)

Ищем частное решение Z этого уравнения также в форме тригонометрического полинома.

где A и B – неопределенные коэффициенты.

Дифференцируя, получим

=

Собирая вместе члены с и , имеем:

Так как последнее выражение представляет собой тождество, то его коэффициенты при и в левой и правой частях должны быть соответственно равны друг другу.

Из этой системы определяем коэффициенты A и B.

Возможны три случая:

1)

если ω±bi не является корнем характеристического уравнения.

2)

если ω±bi является простым корнем.

3)

если ω±bi – кратный корень характеристического уравнения.

Пример.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

. Находим общее решение .

Частное решение Z данного неоднородного уравнения, соответственно его правой части , ищем в виде:

В формуле

, ,

. Подставляя в данное неоднородное уравнение, получим

отсюда

, .

Следовательно,

;

3.3. Правая часть линейного уравнения (10) представляет собой полином, например, второй степени

(16)

Ищем частное решение Z также в форме полинома второй степени

A, B, C – неопределенные коэффициенты.

,

Подставляя в (9), получим

Коэффициенты при одинаковых степенях переменных x равны, то имеем систему:

Если , то из этой системы для A, B, C получаются определенные числовые значения. Тем самым Z будет вполне определено.

Если , то система несовместна. В этом случае, полагая, что , частное решение Z следует искать в форме

Аналогично нужно поступать, если - полином какой-нибудь другой степени.

Произвольные постоянные, входящие в общее решение, могут быть определены из начальных условий.

Пример. Найти решение y уравнения ,

такое, что

Решение.

Однородное уравнение

- характеристическое уравнение

- общее решение соответствующего однородного уравнения

и - постоянные.

Подставляя в данное уравнение, получим

Используем начальные условия.

Полагая,

Для определения с₁ и с₂ получим систему

.

Эти значения с₁ и с₂ подставляем в общее решение данного дифференциального уравнения, имеем

Тестовые вопросы для самоконтроля знаний.

1. Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

A); B); C);

D); E)

2. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид:

A) ; B) ; C) ;

D) ; E)

3. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка геометрически будет:

А) прямая линия; В) парабола; С) гипербола;

D) однопараметрическое семейство интегральных кривых

Е) кубическая парабола.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид:

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) .

5. Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня и , то общее решение уравнения имеет вид:

A) ; B) ; C) ;

D) ; E)

Решите следующие дифференциальные уравнения

6.

A) ; B) ; C) ; D) ; E)

7.

A) ; B) ;

C) ; D) ;

E)

8.

A); В)

C); D)

E)

9.

A) ; B) ;

C) ; D) ;

E)

10.

A) ; B) ;

C) ; D) ;

E)