Лекция № 34
Список используемой литературы
- Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.1. – М.: ОНИКС. 2003. – 304 с.
- Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Ч.2. – М.: ОНИКС. 2003 – 415 с
- Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с
- Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.
- Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М.,2001, - 208 с.
- Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с.
Тема «Ряды»
Цель: дать определение числового ряда, рассмотреть необходимые и достаточные признаки сходимости ряда.
Ключевые слова: последовательность, ряд, сумма ряда.
Вопросы:
1. Сумма ряда и его сходимость.
2. Необходимый признак сходимости ряда.
3. Достаточные признаки сходимости ряда.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
5. Абсолютная и условная сходимость ряда.
|
|
Определение 1. Рядом называется сумма бесконечного множества слагаемых
U1+U2+U3+…+Un+…, (1)
являющихся членами бесконечной последовательности {Un}. Символы U1,U2,U3,…,Un…, называются членами ряда. Они могут быть числами, функциями, матрицами и т.д., а соответствующие ряды называются числовыми, функциональными, матричными и т.п.
Сокращенно ряд обозначается так:
индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.
Член Un, номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.
Ряд считается заданным, если известен его общий член, выраженный как функция номера n.
Например:
Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда.
Sn=U1+U2+…+Un (2)
Определение 3. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.
(3)
Число S называется суммой ряда (1).
Разность rn=S-Sn называют остатком ряда.
Примеры:
1. рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию
b+bq+bq2+…+bqn+… (4),
где b- первый член прогрессии, q- знаменатель прогрессии.
Сумма n-первых членов геометрической прогрессии определяется по формуле:.
Сходимость ряда (4) зависти от значений знаменателя q.
Рассмотрим следующие случаи:
а)
Ряд (4) сходится.
б)
Ряд расходится.
в) q=1 b+b+b+…+b+…
Sn=nв
Ряд (4) расходится.
г) q=-1 b-b+b-b+…+(-1)n+1b+…
не существует, значит ряд (4) расходится.
Бесконечная геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда абсолютная величина знаменателя ее меньше единицы.
|
|
т.е. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия есть ряд сходящийся.
1. Исследовать на сходимость ряд:
Решение:
Найдем сумму ряда
Sn=
Преобразуем общий член ряда по методу неопределенных коэффициентов
Un=
1=A(n+1)+Bn
n=0; 1=A; A=1.
n=-1; 1=-B; B-1
тогда
ряд сходится и его сумма S=1.
Определение 4. Если в ряде (1) , то ряд называют положительным.