Как наблюдать эффект Доплера

Математическое описание

Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается, если удаляется — длина волны увеличивается:

,

где — частота, с которой источник испускает волны, — скорость распространения волн в среде, — скорость источника волн относительно среды (положительная, если источник приближается к приёмнику и отрицательная, если удаляется).

Частота, регистрируемая неподвижным приёмником

.

(1)

Аналогично, если приёмник движется навстречу волнам, он регистрирует их гребни чаще и наоборот. Для неподвижного источника и движущегося приёмника

,

(2)

где — скорость приёмника относительно среды (положительная, если он движется по направлению к источнику).

Подставив вместо в формуле (2) значение частоты из формулы (1), получим формулу для общего случая:

.

(3)

Не меняющий своего местоположения микрофон записывает звук, издаваемый сиренами двух движущихся влево полицейских машин. Снизу можно видеть частоту каждого из двух звуков, принимаемую микрофоном.

Поскольку явление характерно для любых волн и потоков частиц, то его очень легко наблюдать для звука. Частота звуковых колебаний воспринимается на слух как высота звука. Надо дождаться ситуации, когда быстро движущийся автомобиль или поезд будет проезжать мимо вас, издавая звук, например, сирену или просто звуковой сигнал. Вы услышите, что когда автомобиль будет приближаться к вам, высота звука будет выше, потом, когда автомобиль поравняется с вами, резко понизится и далее, при удалении, автомобиль будет сигналить на более низкой ноте.

Эффект Доплера нашел широкое применение и в медицине. На его принципе основана диагностика показателей кровотока практически в любом сосуде, что очень важно для выявления патологии поражающей сердечнососудистую систему и контроля ее лечения. При исследовании кровотока пациента посредством ультразвукового исследования фиксируют изменение частоты ультразвукового сигнала при отражении его от движущихся частиц крови, основную массу которых составляют эритроциты. Для регистрации эффекта Доплера используют ультразвук, посылаемый в направлении исследуемого сосуда. Отражаясь от движущихся эритроцитов, ультразвук, принимаемый устройством, соответственно меняет частоту. Это позволяет получить информацию о скорости движения крови по исследуемому участку сосудистого русла, направлении движения крови, объеме кровяной массы, движущейся с определенными скоростями, и, исходя из этих параметров, обосновывать суждение о нарушении кровотока, состоянии сосудистой стенки, наличии атеросклеротического стеноза или закупорке сосудов, а также оценить коллатеральное кровообращение.

Акустика — наука, изучающая механические колебания в газах, жидкостях и твердых телах. Исследователей-механиков, занятых этой наукой, именуют акустиками. Акустические волны (их часто называют просто звуком) представляют собой регулярно чередующиеся области сжатия и разряжения какой-либо среды — воздуха, воды, стекла и т.д. Но механическое движение в среде не обязательно должно быть периодическим; оно может быть хаотическим. В этом случае звук называют шумом. Шум почти всегда считается вредным явлением. В отличие от него периодический или даже гармонический звук относится к так называемому полезному сигналу.

Одна из важных характеристик спектров – резольвент. Некоторые основные определения и понятия теории линейных операторов. Итак:

Пусть A - оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора называется множество всех его собственных значений.

Квадратную матрицу nЧn можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Пусть A - оператор, действующий в банаховом пространстве E над полем k. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор R(λ) = (A − λI)-1, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен.

Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества - спектром этого оператора.

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через r(A). При этом выполняется равенство:

Это равенство может быть принято за определение спектрального радиуса, при условии существования данного предела.

Теперь рассмотрим состав самого спектра. Он неоднороден, и состоит из следующих частей:

дискретный (точечный) спектр - множество всех собственных значений оператора A - только точечный спектр присутствует в конечномерном случае;

непрерывный спектр - множество значений λ, при которых резольвента (A - λI)-1 определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной;

остаточный спектр - множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части.

Таким образом, мы видим, что спектр оператора состоит из 3-х больших частей, принципиально различных.