Правило сложения дисперсийопределяется так:общая дисперсия равна сумме величин межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий

Следствие:

ŋ² = β²/ G² - коэффициент детерминации

ŋ = √ŋ² - корреляционное отношение

Коэффициент детерминации характеризует долю колеблемости, зависящую от изменчивости группировочного признака, а корреляционные отношение, меняясь от 0 до1 характеризует тесноту связи между изменчивостью группировочного признака и вариацией результативного.

5. Модели и показатели форм распределения

Ряд распределения – это простейшаягруппировка, представляющая собой распределение численности единиц совокупности по значению какого-либо признака.

Вариантами ряда распределения являются отдельные значения признака, а численности отдельных вариантов или групп ряда, показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения, называют частотами. Виды рядов распределения:

¾ Атрибутивные – это ряды распределения, в основе которых лежит качественный признак

¾ Вариационные – это если ряд построен по количественному признаку.

¾ Дискретные. Признак – целое число

¾ Интервальные. Признак принимает разные значения в пределах интервала: (равномерные, неравномерные, открытые, закрытые, возрастающие, убывающие).

Формы и типы рядов распределения показывают коэффициент асимметрии и эксцесса. Коэффициент асимметрии показывает сторонность симметрии и определяется по формуле:

, где.

Если >0, то распределение будет правосторонней симметрии. Если =0 – распределение симметрично. Если <0, то левосторонняя симметрия.

Коэффициент эксцесса находится по формуле:

, где.

Если =3, то распределение плосковершинное, если >3 – то островершинное, а если <3, то график приближен к оси.

Тема 7. Ряды динамики (временные ряды)

Цель: рассмотрение понятия, видов, правил построения рядов динамики, сопоставимости и смыкания рядов динамики, абсолютных и относительных, средних показателей измерения рядов динамики, графиков динамических рядов, тренда, методов выявления и описания тренда ряда динамики.

План лекции

1. Понятие, виды и правила построения рядов динамики.

2. Сопоставимость и смыкание рядов динамики.

3. Абсолютные и относительные показатели измерения рядов динамики

4. Средние показатели рядов динамики

5. Трендовый анализ для рядов равномерного развития.

6. Графические методы выявления тренда.

7. Сглаживание ряда динамики методом скользящей средней.

8. Сглаживание динамических рядов методом укрупнения интервала ряда.

9. Корреляция между рядами динамики.

10. Оценка выбора и параметров уравнения тренда

Самостоятельно:

1. Оценка выбора и параметров уравнения тренда.

2. Сезонные колебания.

Литература: 1, 2, 3, 4, 5.

Дополнительно:

1. Понятие, виды и правила построения рядов динамики.

Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. Динамическим рядом называют ряд числовых характеристик изучаемого явления за последовательно взятыеотрезки времени или моменты времени

Временной ряд позволяет устанавливать типичное развитие социальных явлений и процессов. Выбор соответствующих приемов представления и способов анализатаких рядов определяется характером исходных данных и зависит от задач исследования. Основные элементы радов динамики:

1. y_i – уровень ряда (зависимая переменная)

2. t_i – момент времени (независимая переменная)

Ряды динамики подвержены влиянию:

1.эволюционного характера -тренд в развитии, долго проявляющиеся основные изменения

2.осцелятивного характера - конъюнктурные или сезонные колебания

3.разовые воздействия – спорадические наступающие изменения, вызванные войной или экологической катастрофой.

Виды рядов динамики:

Абсолютные и относительные:

- моментные

- интервальные

Правила построения: Что бы построить ряды динамики необходимо иметь основные 2 элемента: yи t.

С помощью рядов динамики решаются вопросы:

· Характеристика уровней развития процессов во времени;

· Измерение динамики изучаемых процессов с помощью системы показателей;

· Выявления и количественной оценки основной тенденции развития;

· Изучения периодических колебаний;

· Прогнозирования с помощью экстраполяции (продолжения) рядов динамики.

2. Понятие о многомерных рядах.Сопоставимость и смыкание рядов динамики.

Предположим, что имеется несколько временных рядов и надо рассмотреть связь между ними. Их можно представить матрицей p*n, где p – число рядов, а n – количество наблюдений по каждому ряду. В этом случае говорят о работе с многомерными рядами, которые обрабатываются в соответствии с правилами работы с матрицами. Если ряды содержат несопоставимые уровни, то до аналитической обработки необходимо привести ряды к сопоставимому виду. Традиционно используют 2 методики:

· смыкание динамических рядов

· приведение рядов к одному основанию

Обязательным условием комплексного анализа динамических рядов или их систем является их сопоставимость и смыкание уровней ряда между собой. Сопоставимость и смыкание обеспечивается единством методологии и методики расчетов уровней, охватом одних территорий, единством продолжительности периодов, единством применяемых единиц измерения.

При изучении динамики деятельности фирм возникает несопоставимость по внутригодовым периодам:

· при неодинаковой продолжительности показаний времени (месяцев, кварталов, полугодий);

· при сравнении деятельности фирм, действующих в разных странах из-за разного количества праздничных дней.

Способы приведения рядов динамики к сопоставимому виду через определение ключей (К₁ и К₂).

Например:

Таблица 7.1

Реализации продукции двух фирм до и после слияния (с 2001-2008 гг.). Год слияния 2004.

Годы
До слияния, млн. д. е.	38,2	39,4	40,0	42,4	-	-	-	-
После слияния, млн. д. е.	-	-	-	45,6	47,2	49,0	52,4	56,2

Определяем К1=45,6/42,4=1,075;К2=42,4/45,6=0,934.

Приводим ряд к сопоставимому виду:

Годы
До слияния, млн. д. е.	38,2	39,4	40,0	42,4	44,08	45,77	48,94	52,50
После слияния, млн. д. е.	41,06	42,35	43,0	45,6	47,2	49,0	52,4	56,2

Пересчет основания используется, когда систему составляют ряды различного содержания, из-за чего их нельзя сопоставлять. Приведение к одному основанию состоит в пересчете исходных уровней на базисные темпы. Динамические ряды изучаются, чтобы установить их типичное состояние за отрезок времени, для которого составлен ряд, и чтобы оценить интенсивность изменений, определить меру скорости и ускорения изменения.

3. Абсолютные и относительные показатели измерения рядов динамики

Все показатели характеризующие ряды динамики делятся на 2 класса:

I Аналитические показатели рядов динамики

1. Абсолютный прирост (∆_y)

Базисный: ∆_y^б=y_i – y₀

Цепной: ∆_y^ц=y_i– y_i-1

2. Темпы роста (Т_р)

Базисные: Т_р^б= (y_i/ y₀)×100

Цепные: Т_р^ц= (y_i/ y_i-1)×100

3. Темпы прироста (Т_пр)

Базисные: Т_пр^б= ∆_y^б/ y₁

Цепной: Т_пр^ц= ∆_y^ц/ y_i-1

4. Абсолютные значения i-го процента прироста (А1%)

А1% = ∆y/Т_пр

4. Средние показатели рядов динамики

1. Средние показатели рядов динамики (относительные)

2. Средний уровень ряда динамики (): =Syi /n

3. Средний абсолютный прирост (y

а. Базисный: =

б. Цепной: =

4. Средние темпы роста ()

а. Базисный: =

б. Цепной: =

5. Средние темпы прироста ()

а. Базисные: =

б. Цепные: =

6. Средне годовые темпы роста () и прироста ()

а. =

б. = – 100(1)

7. Средняя хронологическая простая (для моментного ряда):

ỵ_хрон=

где n-количество моментов (временных дат).

Пример:

Менеджер одной из торговых фирм дает следующую информацию о товарном запасе за первое полугодие 2008г. по месяцам:

Дата, месяц, год.	Товарный запас (тыс. грн.)
01.01.08
01.02.08
01.03.08
01.04.08
01.05.08
01.06.08
01.07.08

Определите среднемесячный и среднеквартальный товарный запас этой фирмы.

Решение.

1. Определяем среднемесячный товарный запас:

2.

3. Определяем среднеквартальный товарный запас:

4.

5. Средняя хронологическая взвешенная:

5. Трендовый анализ для рядов равномерного развития.

Временной ряд составляется из различных компонентов, его первоначальные значения подвергаются разнообразным воздействиям. В современной статистике выделяют 4 основные компоненты временного ряда:

1. трендовая – Т

2. циклическая (конъюнктурная) – К

3. сезонная – S

4. разовые воздействия – Е

Временной ряд можно представить в следующем виде: y = f(T;K;S;E)

В зависимости от того, как связаны эти компоненты между собой, говорят об аддитивной или мультипликативной модели ряда

Аддитивная модель: y=T+K+S+E

Мультипликативная: y=T*K*S*E

При аддитивной модели циклические и сезонные флуктуации (лат – колебание) остаются постоянными; при мультипликативной модели они построены только относительно тренда.

6. Графические методы выявления тренда.

Чтобы показать тенденцию развития, нужно выбрать математическую модель, для этого построим графики экспорта и импорта:

Годы

(млн. долл. США)

импорт Экспорт

Рис. 7.1 Показатели экспорта и импорта услуг Украины за 2003-2007 гг.

Данный график показывает линейную зависимость. Она характеризуется формулой:

= a+bt, где a =, b=, а t это время.

Так как в данной задаче нечётное количество лет, то серединный момент времени обозначим 0, а остальные через один интервала, для удобства подсчёта параметров а и b в таблицу занесём такие данные, как и:

7. Сглаживание ряда динамики методом скользящей средней.

Метод скользящей средней—заключается в нахождении центрированных средних скользящего интервала. Сглаженный ряд короче первоначального на (К-1) уровней при ширине избранного интервала К,

Например, если дан ряд ежегодных уровней: x₁,x₂,…., x₉, то трехлетняя скользящая средняя выглядит следующим образом:

Для первого интервала:

Для второго интервала

Для третьего интервала и т. д.

В результате сглаживания получается ряд динамики, количество уровней которого на два меньше, чем у исходного (теряются два крайних значения).

Например: Менеджер внешнеторговой фирмы дает следующую информацию о реализации своей продукции на региональном рынке СААРК за 2008г.г. по месяцам (тыс. долл. США):

Месяц
	Скользящая средняя
Январь	114,0	-
Февраль	107,9	114,83
Март	122,6	117,33
Апрель	121,5	121,23
Май	119,6	118,73
Июнь	115,1	116,37
Июль	114,4	113,57
Август	111,2	111,23
Сентябрь	108,1	110,03
Октябрь	110,8	106,30
Ноябрь	100,0	103,73
Декабрь	100,4	-
Всего	1345,6

Решение.

Аналогично рассчитываются 2, 3, 4 и 10 интервал ряда. Результаты расчетов занесены в таблицу.

8. Сглаживание динамических рядов методом укрупнения интервала ряда.

Одним из наиболее простых методов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Метод применяется для выявления тренда в рядах динамики, в которых колебания уровней не позволяют определить основную тенденцию развития. Суть метода заключается в преобразовании первоначального ряда динамики в ряд с более продолжительными периодами.

Например. Менеджер внешнеторговой фирмы дает информацию о товарном экспорте за девять месяцев 2009 года. (млн. долл. США).

Месяцы	Товарный экспорт, млн.долл.США	В % к итогу
По месяцам	По кварталам
Январь	3,2	9,6
Февраль	3,4
Март	3,0
Апрель	2,7	7,4
Май	2,5
Июнь	2,2
Июль	2,1	5,9
Август	1,6
Сентябрь	2,2
Всего	22,9

9. Корреляция между рядами динамики.

Колебания временных рядов часто бывают взаимно обусловлены. Так, например, временной ряд выпуска продукции на данном предприятии можно считать обусловленным влиянием двух факторов - стоимостипроизводственных фондов и численности работающих, которые также изменяются во времени.

При определении коэффициентов корреляции признаков в подоб­ных случаях необходимо помнить, что на полученные результаты ока­зывают влияние учитываемые в расчетах тренды временных рядов.

Изменение уровня одного ряда может вызвать изменение уровней другого через некоторый промежуток (лаг), поэтому важно оценить этот лаг и коррелировать ряды с его учетом. Оценка лага может быть произведена с помощью взаимокорреляционной функции r_yx (τ), которая представляет собой ряд коэффициентов корреляции между уровнями коррелируемых рядов, сдвинутыми относительно друг друга наτ интервалов. Максимум значения определяет величину лага.

Коррелированно остатков временных рядов. Ввиду того что непос­редственное коррелирование временных рядов связано с искажениями, прибегают к корреляции их остатков. Пусть тренды рядов y_t и x_t пред­ставлены аналитическим способом, тогда значения их остатков выра­зятся как:

Полученное значение коэффициента корреляции признаков, исчис­ленное по остаткам τ дает неискаженное представление о степени тесно­ты их связи:

Корреляция временных рядов с включением времени в качестве фактора. Эффект устранения влияния тренда при коррелировании вре­менных рядов может быть достигнут включением фактора времени не­посредственно в уравнение регрессии. Так, динамическая зависимость двух рядов признаков может быть представлена следующим образом:

y_t=a₀+ a_{x₁ + a₂t.

10. Оценка выбора и параметров уравнения тренда

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систе­матические факторы на уровень ряда динамики, а колеблемость уров­ней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Ее можно найти по формуле среднего квадратического отклонения:

где у_t, - исходный уровень ряда;

- выравненный уровень ряда.

Этот показатель является оценкой адекватности статистической модели и называется стандартизированной ошибкой аппроксимации.

где -средний уровень ряда.

Для выбора типа уравнения тренда выше было предложено ис­пользовать показатели ряда динамики. Для проверки постоянства то­го или иного показателя ряда динамики целесообразно использовать статистические гипотезы. Для проверки существенности различий между показателями ряда достаточно разбить этот ряд на три части и рассчитать факторную и остаточную дисперсии. Далее необходимо воспользоваться критерием Фишера.

Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации

Если расчетное значение критерия больше табличного (Fр>F_t), то расхождения между показателями ряда могут считаться сущест­венными. Такой подход может быть использован для таких показате­лей ряда динамики, как абсолютные темпы прироста, темпы роста и прироста, темпы наращивания.

Для оценки точности замены ряда динамики уравнением тренда используется оценка погрешности, которая определяется по формуле:

где. y_i и €- фактические и расчетные значения уровней ряда дина­мики;

п - число уровней ряда;

т - число параметров в уравнении тренда;

- среднее значение уровня ряда.

Тема 8. Экономические индексы

Цель: рассмотрение определения и видов экономических индексов, агрегатной формы общего индекса, средних индексов.индексов средних величин, интегрального коэффициента структурных различий.

План лекции

1. Определение и виды экономических индексов.

2. Агрегатная форма общего индекса.

3. Средние индексы.

4. Индексы средних величин.

5. Интегральный коэффициент структурных различий.

1. Определение и виды экономических индексов

Статистический индекс – обобщающий относительный показатель сравнения двух совокупностей, состоящих из элементов, непосредственно не поддающихся суммированию (логическому). Например, товарооборот – сложная экономическая совокупность, выраженная в денежных единицах и складывающаяся из продажи розничных товаров и цен на эти товары.

q – физическое количество товаров различных наименований.

p – цены на них.

Sqp = q₁p₁ + q₂p₂ + q₃p₃ = S т/о

Наиболее распространена сравнительная характеристика совокупнгостей во времени. Индексный метод применяется в статистике как аналитическое орудие — для оценки роли отдельных факторов в изменении сложного явления. Экономические индексы используют для решения следующих задач:

1. характеристика развития анализируемых показателей во времени

2. характеристика развития анализируемых показателей по территории

3. изучение структуры и взаимосвязей

4. выявление роли факторов в изменении сложных явлений.

Из сказанного следует: экономические индексы применяют для изучения явлений в динамике, для оценки выполнения планов, для сравнения состояния одного и того же явления в различных городах, на различных предприятиях, для того, чтобы понять, как влияет один из элементов сложных категорий (pили q)

В сложной статистической совокупности единицами наблюдения являются простые элементы, из которых состоит эта совокупность. Метод экономических индексов позволяет перейти от состояния несопоставимости в силу качественной разнородности элементов к состоянию сопоставимости путем пересчета элементов на денежный, трудовой эквивалент.

Таким образом, базовым элементом экономического индекса является индексный набор. Он состоит из индексируемых элементов (по которым делается оценка) и весов или коэффициентов соизмерения.

Индексный набор = (Инд. признак)*(Эталон)

Коэффициент соизмерения Вес

Для товарооборота:

¾ индексный набор – q*p (количество коэфициентов соизмерения)

анализ qq*p (инд. признак и коэффициент соизмерения)

¾ анализ pp*q (инд. признак, вес)

Индексный набор включает 1,2…до 6 элементов. Чаще всего это 2, 3 элемента. Например, стоимость затрат на материалы – q*n*p (количество, нормы, цены).

По охвату единиц совокупности индексы:

* индивидуальные (элементарные) – i

* общие – I

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных единиц совокупности, а общие называются обобщенными или сводными и отражают изменения единиц, образующих статистическую совокупность.

Свойства экономических индексов:

¾ Синтетические свойства состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение в целое разнородных элементов.

¾ Аналитические свойства – посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя.

В расчетных формулах в числителе информация текущего периода, которой дается оценка, а в знаменателе база сравнения по отношению к которой дается оценка. Общая классификация индексов:

¾ индивидуальные

¾ общие

¾ агрегатные

¾ средние

¾ постоянными и переменными весами

¾ структурных или средних величин

¾ сравнение территории

Один и тот же индекс может применяться для различных ситуаций, при уточнении некоторых методических моментов использования этих индексов

1.I_то = то₁/то₀ = ∑q₁p₁/∑q₀p₀ = 160000/125000=1.28

∆_то = 160000-125000 = +35000грн.

Товар	ед. измер	1 период	2 период	индив. индексы	факт.т/о 1	факт. т/о 2	усл. фак.т/о	q1p1/qopo
цены за ед.грн	кол-во ед.	цены за ед.грн	кол-во ед.	ip=p1/po	iq=q1/qo	пер.qopo	пер.q1p1	2 перq1po
		po	qo	p1	q1
А	т					1,5
В	м
С	шт					0,67	0,5

i_p = p₁/p₀

i_p-100=∆

i_p = q₁/q₀ 150-100=+50 (%)

i_q-100=+200(%) или 3p

i_p = p₁/p₀

i_q = q₁/q₀

ip-100 = 100-100 = 0 67-100 = -33(%)

I_то = ∑q₁p₁/∑q₀p₀ = (160000/125000)*100 = 128% (+28)

D_то = ∑q₁p₁ - ∑q₀p₀ = 160000 - 125000=35000

2. Агрегатная форма общего индекса

Индексы называются агрегатными, если числитель и знаменатель состоят из суммарных произведений показателей (количественных—q, качественных—р). За счет изменения цен по всем видам товаров при одновременном влиянии изменения количества по всем видам товаров, общий объем товарооборота увеличился на 28%, что в суммарном выражении составил 35000грн.

∑q₁p₁ - объем т/о в отчетном (исследуемом) периоде

∑q₀p₀ - т/о в базисном периоде

Iqp = Iq*Ip;

Dqp = Dq+Dp

∑q₁p₀ / ∑q₀p₀ * ∑q₁p₁ / ∑q₀p₁ = ∑q₁p / ∑q₀p₀ - правило сопряжения индексов

Это правило моделирует зависимость между экономическими категориями.

Т/о = количество · цены (Iqp = Iq · Ip)

I_q = 35000/125000 =1.08 или 108% (+8%)

D_q = 135000-125000 = +10000(грн)

Вывод: во втором периоде в целом по всем видам товаров физический объем продаж возрос на 8%, что в стоимостном выражении составило+10000 грн.

I_p = 160000/135000 = 1.185 или 118.5% (+18,5 %)

D_p = 160000-135000 = +25000 (грн.)

Вывод: в целом по трем видам товаров цены возросли на 18,5% и дополнительные затраты населения связаны с приобретением товаров по повышенным ценам составили 25000 грн, на эту же сумму увеличился объем товарооборота за счет роста грн.

Проверяем правило сопряжения индексов. Условия производства не могут совпадать, они варьируют:

Ip*Iq = 1.08*1.185 = 1.28

Dq+Dp = +10000+25000 = 35000(грн)

3. Средние индексы.

Средний индекс – адаптированная форма агрегатного индекса конкретным информационным условиям. Средние индексы применяются, когда базовые модели агрегатных индексов применить невозможность из-за формы базовой информации.

Средние индексы по своим моделям имитируют формы средних величин арифметической и гармонической. Формально для количественных и качественных признаков можно рассчитывать обе средние модели, как арифметическую, так и гармоническую. Но если целью являются оптимизм эффекта при минимуме расчетов, то для признаков количественных (q), норма (n) рекомендуется использовать средний арифметический индекс, и для качественных признаков (p или z-себестоимость) рекомендуется применять среднюю гармоническую модель, приведенный выбор не потребует использования дополнительной информации. Основная информационная база расчета средних индексов – статистическая отчетность.