Значение внешних сил, при которых устойчивое положение равновесия становится неустойчивым, называются критическими силами и рассматриваются для конструкции как предельные

При расчете на устойчивость рабочая нагрузка назначается как n -я доля критической, где под n понимается запас устойчивости.

Задача Эйлера.

Рассмотрим равновесие стержня, сжатого центральными силами

При малых прогибах EI y= M. I = I_min т.к. изгиб происходит в плоскости минимальной жесткости.

Изгибающий момент М = F y считается положительным, если увеличивает кривизну.

На рисунке М уменьшает кривизну т.к. при положительном у упругая линия имеет выпуклость вверх следовательно кривизна отрицательна.

Момент силы F еще сильнее искривляет упругую линию т.е. уменьшает ее кривизну. EI= -F y.

Обозначим k² = , тогда +k²y=0.

Отсюда у= С₁ sinkz+С₂coskz. При z = 0, y = 0 отсюда С₂= 0.

При z=l y=0 отсюда C₁sinkl = 0. Это уравнение имеет два возможных решения: 1) С₁ = 0. Тогда при С₁= С₂= 0 у=0 этот случай не интересует.

2) kl=n, n- целое число. В этом случае k²==; или F=.

Это означает, что для того, чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы F принимала определенное значение. Наименьшая сила будет при n=1.

F_кр _. = – критическая или Эйлерова сила.

При n=1, kl= и решение будет иметь вид: y=C₁ sin- стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом С_1.

При любом целочисленном n y=C₁sin - упругая линия имеет п полуволн.

Величина С₁ остается неопределенной т.к. было использовано приближенное уравнение при малых прогибах у. При силе F большей критической, перемещения растут быстро и пренебречь величиной (у’) ² в знаменателе дифференциального уравнения изогнутой оси нельзя.

Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.

Используя особенности упругой линии, полученное решение можно распространить и на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом свободен, то упругую линию стержня путем зеркального отображения легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня.

В данном случае критическая сила будет равна F_кр. шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 2 l, т.е.

F_кр. = .

Для стержня, имеющего посредине опору, как шарнирно опертый стержень длиной .

F_кр _.= .

Обобщая можно записать общее выражение:

F_кр. = , где

μ-коэффициент приведения длины, число показывающее, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления.

Значения μ для различных случаев закрепления концов стержня приводится в учебниках или в пособии по курсу.

Устойчивость стержня при наличии пластических деформаций.

Расчет по коэффициентам уменьшения допускаемых напряжений.

Все полученные выше формулы предполагают наличие только упругих деформаций, т.е. для сравнительно длинных и тонких стержней.

Для более коротких и жестких стержней F_кр. будет большей и возможно возникновение пластических деформаций до потери устойчивости.

Определим критическое напряжение из расчета действия критической силы:

σ_кр.==, где i²= - радиус инерции сечения.

Обозначим λ = - гибкость стержня, тогда σ_кр.= .

Если σ_кр. = σ_ТС формула Эйлера становится неприменимой. В этом случае предельная гибкость определяется при σ = σ_пц.

λ_пред=.

При λ<λ_пред-формула Эйлера неприменима и в стержне возникают пластические деформации.

При λ>λ_пред формула Эйлера применима и стержень работает в упругой стадии.

Для расчета на устойчивость и определения σ_крит за пределом упругости строится график зависимости σ_крит.- λ для всех реально встречающихся значений гибкости λ, начиная от нуля.

Обозначим φ = , тогда σ_кр.=φσ_ТС. Соответственно допускаемое напряжение [σ]_кр = φ[σ]_C, следовательно, расчет стержня на устойчивость можно заменить обычным расчетом по пределу текучести, но со сниженным [σ]. Вместо [σ]_c, берется φ[σ]_c. Величина φ называется коэффициентом снижения допускаемого напряжения. С увеличением гибкости λ, φ снижается. Коэффициент φ для наиболее часто встречающихся материалов вычисляется заранее и приводится в таблицах в зависимости от гибкости λ.

Пример: Определить F_доп для сжатого шарнирно закрепленного стержня l=2 м. Поперечное сечение -двутавр №30, i_min=2,95см, A=49,9см², [σ]=200МПа.

Решение: Определяем гибкость λ=== 67,8. По табл. при λ=67,8;φ=0,82. Тогда = [σ]_cφ и F = [σ]_cφA = 200 10⁶ 0,82 49,9 10^-4= 82 10⁴Н = 820 КН