Обобщенные функции и преобразование Лапласа

Опр Носителем КЗФ на оси называется замыкание множества точек, в которых . Обозначение .

Пр. Носитель функции Хевисайда .

Опр Пространствомосновных (финитных) функций называется пространство бесконечно дифференцируемых функций, на , которые имеют компактный (то есть ограниченный) носитель.

Пр Функция шапочка - бесконечно дифференцируема на и финитная с носителем .

Опр Последовательность финитных функций называется сходящейся к нулю, если , и последовательности равномерно стремятся к нулю на .

Обозначение .

Опр Линейный функционал на пространстве называется непрерывным функционалом (обобщенной функцией), если .

Обозначение - пространство обобщенных функций.

Пр 1 Каждый оригинал определяет обобщенную функцию на пространстве по правилу .

Пр 2 Каждая функция определяет обобщенную функцию по правилу .

Опр Обобщенная функция называется регулярной, если она порождена локально суммируемой (то есть суммируемой на каждом отрезке из ) функцией по правилу .

Опр - ой производной обобщенной функции называется функционал на пространстве , определяемый по правилу .

ЗАМЕЧАНИЕ 1) Производная обобщенной функции будет функцией обобщенной.

2) Если регулярная обобщенная функция порождена раз непрерывно дифференцируемой функцией , то .

Опр Линейный функционал на , определяемый по правилу ,

называется - функцией (единичным импульсом, функцией Дирака).

ТЕОРЕМА 10.13 (свойства -функции) 1) .

2) , то есть является слабым пределом последовательности регулярных обобщенных функций, порожденных функциями .

3). 4).

ЗАМЕЧАНИЕ 1 (физический смысл -функции) Плотностью материальной точки с координатой и массой равна обобщенной функции .

◄ По физическому смыслу точка является пределом последовательности интервалов массы с однородной плотностью, которые стягиваются к этой точке. Функция плотности такого интервала равна , так как . Рассматривая ее как регулярную обобщенную функцию, имеем . ►

СЛЕДСТВИЕ Плотность системы материальных точек на оси с координатами и массами соответственно равна .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 (физический смысл -функции) Ударным импульсом силы величины , приложенным к материальной точке с координатой называется обобщенная функция .

____

Опр Обозначим пространство бесконечно дифференцируемых на оси функций, у которых каждая производная убывает на бесконечности быстрее любой степени : .

Пр 1 Функция .

Пр 2 «Шапочка» , так как имеет компактный носитель и бесконечно дифференцируема на.

Опр Последовательность функций называется сходящейся к нулю,если последовательности равномерно на оси стремится к нулю, когда .

Опр Линейный функционал на пространстве называется непрерывным (обобщен ной функцией медленного роста), если , сходящейся к нулю, .

Обозначение - пространство обобщенных функций медленного роста.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Запас обобщенных функций из достаточно богат. Например, измеримые функции медленного роста, то есть функции, для которых при некотором сходится интеграл , определяют регулярные обобщенные функции из . Таковы, например, функции .

Опр Носителем обобщенной функции называется такое наименьшее замкнутое множество , что выполняется условие: если, то .

Пр .

Опр Произведением бесконечно дифференцируемой на оси функции на обобщенную

называется обобщенная функция , определяемая по правилу

Опр Обозначим . Обобщенная функция ,называется

обобщенным оригиналом,если .

Пр 1 Обычный оригинал порождает регулярную обобщенную функцию над по правилу , которая является обобщенным оригиналом с .

Пр 2 обобщенные функции являются обобщенными оригина- лами. Действительно, пусть . Тогда , откуда , то есть обобщенный оригинал.

Опр Изображением обобщенного оригинала называется функция комплексного переменного в полуплоскости , определяемая по правилу

, где .

Пр .

Опр Правило, сопоставляющее обобщенному оригиналу его изображение, называется обобщенным преобразованием Лапласа.

ЗАМЕЧАНИЕ (свойства) 1) Изображение является аналитической в полуплоско сти функцией. 2) (теорема Шварца) Аналитическая в какой-либо полуплоскости функция является изображением обобщенного оригинала тогда и только тог да, когда . 3) Множества обобщенных оригиналов и изображений обобщенных оригиналов являются векторными пространствами и обобщенное преобразование Лапласа является изоморфизмом на .

Пр Материальная точка массы совершает прямолинейные горизонтальные колебания без трения под действием силы , пропорциональной отклонению . В моменты времени , на нее действуют импульсы силы соответственно. Определить закон движения точки. В начальный момент времени точка находится в положении и имеет скорость .