Опр Комплекснозначная функция на называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям: 1) ; 2) ;
3) имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода на .
Опр Число называется показателем роста оригинала .
Кпр Функция не является оригиналом, так как имеет разрыв второго рода в точке . Функция не является оригиналом, так как .
Опр Изображением оригинала называется функция комплексного переменного
.
Обозначение - "функция является изображением оригинала ".
Опр Отображение называется преобразованием Лапласа.
ЗАМЕЧАНИЕ Изображение является аналитической функцией в полуплоскости .
Пр 1 Найдем преобразование Лапласа функции Хевисайда .
.
Пр 2 для .
Опр Несобственный интеграл , называется гамма – функцией.
ЗАМЕЧАНИЕ Можно доказать, чтогамма - функция является аналитической
функцией в области , а в точках она имеет простые полюсы.
Пр 1
.
Пр 2 .
Опр Сверткой оригиналов называется интеграл .
ТЕОРЕМА 10.9 (свойства преобразований Лапласа).
1) Пусть – пространство оригиналов, пространство функций, аналитических в какой-либо правой полуплоскости. Тогда преобразование Лапласа является линейным.
|
|
2) (теорема подобия).
3) (теорема запаздывания).
4) (теорема смещения) .
5) (изображение производной оригинала ) .
6) (оригинал производной изображения) .
7) (изображение интеграла оригинала ) .
8) (оригинал интеграла изображения) .
9) (изображение свертки ) .
10) (интеграл Дюамеля) .
11) (изображение произведения) .
12) .
ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция имеет конечное число точек разрыва первого рода на отрезке и . Обозначим её изображение Образуем периодическую на функцию ,
и найдем изображение последней при , используя теорему запаздывания.
.
Пр Найдем изображение периодического импульсного сигнала ширины . Так как
,
то .
Отсюда, полагая , с помощью замечания находим изображение импульсного сигнала
.
ТЕОРЕМА 10.10 (о восстановлении оригинала по изображению)
1) Пусть функция голоморфна в полуплоскости , и интегралабсолютно сходится. Тогда является изображением функции .
2) Пусть аналитическая в точке функция имеет ряд Лорана . Тогда её оригинал вычисляется по формуле .
3) Рациональная функция относительной степени с полюсами является изображением функции .
Приведем таблицу преобразований Лапласа некоторых элементарных функций.
ЗАМЕЧАНИЕ Теоремы 10.9, 10.10 и таблица преобразований дают метод решения ЛДУ -ого порядка, НСЛДУ, ЛДУЧП и интегральных уравнений.
Пр 1 Решим задачу Коши для НСЛДУс начальными условиями
Положим . По теореме об изображении производной .
|
|
Применим преобразование Лапласа к каждому уравнению системы, используя свойство его линейности и таблицу.
.
Пр 2 Найдем решение интегрального уравнения .
Применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям и используя теорему 10.9.9 и таблицу, получаем .
Правая часть имеет два простых полюса и полюс второго порядка. Тогда по теоремам 10.10.3 о восстановлении оригинала и 10.4 о вычислении вычетов в полюсах получаем
ЗАМЕЧАНИЕ В Matlab прямое и обратное преобразования Лапласа производятся с помощью функций . Перед их исполнением все переменные и константы необходимо объявить символьными (функция ).