2014-02-24
2517
Опр Последовательность комплексных чисел 
, обладающая свойством 
, называется оригиналом.
Опр Изображением (Z-преобразованием) оригинала называется функция
ЗАМЕЧАНИЕ Изображение является аналитической функцией с центром в бесконечно удаленной точке 
.
Обозначение 
или 
.
Пр 1 Единичный импульс (дельта-импульс Кронекера) 
имеет Z -преобразование 
.
Пр 2 Пусть
. Тогда 
.
Пр 3 Найдем оригинал по изображению 
.
.
ТЕОРЕМА 10.11 (свойства Z - преобразования)
1)Множество оригиналов 
и множество аналитических в точке 
функций 
являются векторными пространствами, а Z -преобразование является их изоморфизмом.
2) ( связь с преобразованием Лапласа) Если по оригиналу 
построить ступенчатую функцию 
, то изображение последней по Лапласу и Z -преобразование 
связаны равенством 
.
3) ( теорема опережения (смещения)) 
.
4) ( дифференцирование изображений) 
5) ( свертка оригиналов) 
6) (сложная свертка) 
.
7) ( формула обращения) 
, где 
- спрямляемый жорданов контур, охватывающий бесконечно удаленную точку;
, если 
есть рациональная функция с полюсами
.
8) (масштабирование частоты) 
.
Пр Найдем оригинал по изображению 
, где 
.
.
Опр Система уравнений 
(1)
где 
, 
, называется линейным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Опр Пусть даны числа 
. Решением разностного уравнения (1) с начальными данными 
называется последовательность чисел 
которая удовлетворяет всем уравнениям (1) и начальным условиям 
.
Опр Разностное уравнение (1) называется асимптотически устойчивым, если при любых начальных условиях соответствующее решение
однородного уравнения стремится к нулю: 
.
ТЕОРЕМА 10.12 (свойства решений разностного уравнения)
1) Для любой 
-ки чисел
решение задачи Коши для однородного разностно го уравнения с начальными условиями
существует и единственно
2) Пусть 
есть нули кратностей соответственно 
характеристического многочлена 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
Рассмотрим разностное уравнение вида
, (2)
с начальными условиями 
, где 
- известный оригинал, а 
- искомое решение. Обозначим 
,
,
.
Тогда:
3) решение однородного уравнения с заданными начальными условиями единственно и равно 
;
4) решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями равно 
, а его решение с исходными начальными условиями равно
;
5) Разностное уравнение(1)асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда нули его характеристического многочлена 
по модулю меньше 1.
Пр 1 Решим разностное уравнение третьего порядка
где 
.
Так как 
, 
, то по последней теореме 10.12.4 
.
Это есть искомое решение разностного уравнения с заданными начальными условиями.
Пр 2 Разностное уравнение 
является асимптотически устойчивым, так как корни его характеристического уравнения 
лежат в единичном круге.
_____
Опр Пусть функции 
определены на 
. Нормальной системой разностных уравнений (НСРУ) называется система вида 
. Или в матрич ном виде
. Нормальной системой линейных разностных уравнений (НСЛРУ) называется система вида 
Или в матричном виде 
. Если матрица 
не зависит от 
,
последняя называется системой с постоянными коэффициентами.
