Качество процессов в линейных импульсных системах

Контрольные вопросы

1. Как формулируется условие устойчивости импульсной системы?

2. Какое математическое выражение служит исходным для оценки устойчивости импульсной системы?

3. В чем заключается практический метод определения устойчивости импульсной системы?

Основные показатели качества процессов в импульсных системах такие же, как и в непрерывных автоматических системах: время регулирования t_p, величина перерегулирования σ и число перерегулирований п (показатели качества переходного процесса); точность работы систем в установившихся режимах.

В чем же особенности исследования качества импульсных автоматических систем?

Оценку показателей качества переходного процесса производят по импульсной переходной функции системы h(пТ) — реакции на единичную ступенчатую дискретную функцию Х_вх (пТ) = 1 (пТ).

Изображение реакции системы в смысле Z-преобразования находят по формуле (3.14)

Так как изображение единичной дискретной функции

то изображение дискретной переходной функции импульсной системы

Как видно из этой формулы, изображение можно представить в общем случае в виде отношения двух полиномов.

Следовательно, для нахождения Н(z) достаточно знать передаточную функцию замкнутой системы Ф(z).

Далее, необходимо по изображению найти оригинал h(nT), т. е. осуществить операцию обратного Z-преобразования. Эту задачу часто решают методом разложения функции в степенной ряд по отрицательным степеням z (делением полинома числителя на полином знаменателя). Коэффициенты полученного степенного ряда равны дискретным значениям импульсной переходной функции в моменты времени t = пТ. Другой метод требует разложения Н (z) на простые дроби.

Рассмотрим на примере методику оценки показателей качества переходных процессов импульсной системы, изображенной на рис. 14.1, при различных значениях ее параметров k_v и T.

Изображение переходной функции системы с учетом формулы (19)

1. При k_vТ= 1,5 изображение переходной функции системы

В результате деления числителя на знаменатель находим:

Коэффициенты степенного ряда определяют следующие значения дискретной переходной функции-оригинала:

и т. д.

График переходной функции для этого случая изображен на рис. 3.14, а. Анализ графика позволяет определить показатели качества переходного процесса: t_p = 5Т сек; σ= 50%; п = 4.

Очевидно, что для уменьшения величины перерегулирования необходимо уменьшать произведение k_vТ.

2. При k_vТ = 1 изображение переходной функции системы

Дискреты переходной функции:

Из графика переходной функции, представленного на рис. 3.14,6, видно, что при k_vТ = 1 в системе имеет место оптимальный по быстродействию переходный процесс, так как он завершается за один период дискретности Т без перерегулирования.

Рис. 3.14. Переходные функции импульсной системы

3. При k_vТ = 0,5 имеем:

Отсюда находим:

График этой функции, изображенный на рис. 3.14, в, близок к экспоненте. Время регулирования в этом случае t_p = 5Тсек.

Проведенный анализ позволяет сделать важный вывод о том, что показатели качества переходного процесса импульсной системы существенно зависят от величины произведения коэффициента передачи k_v на период дискретности Т.

Точность импульсной системы оценивается величиной ошибки в установившихся режимах. Для расчета ошибки необходимо знать изображение задающего воздействия и передаточную функцию ошибки Ф_ε(z). Методика вычисления дискретной функции ε(пТ) аналогична изложенной выше.