Элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.
Элементарная работа силы равна скалярному произведению векторов силы и дифференциала радиус-вектора точки её приложения.
(I) |
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса на скорость точки её приложения.
Пусть точка приложения силы перемещается по криволинейной траектории из положения в положение . Разобьём перемещение точки М по дуге на элементарные бесконечно малые перемещения ds и определим работу силы на каждом таком перемещении
где - угол между векторами и в точке .
- выражение элементарной работы не всегда является полным дифференциалом.
Т.к. ,то
Поскольку
или
Так как
Можно представить (I) в виде
Полную работу силы на перемещении точки из положения в положение определяют как предел суммы её элементарных работ, т.е.
Так как сумма является интегральной суммой определения криволинейного интеграла, то
|
|
Или
Если же сила является функцией времени (переменная сила) то работа силы промежутке времени от 0 до t, соответствующем точкам и, определяется выражением
Работа силы зависит от характера движения точки приложения силы. Так, А = 0, если сила приложена к неподвижной точке или к точке, скорость которой во время движения равна нулю (например, МЦС)
Работа равнодействующей силы.
Рассмотрим систему сил, приложенную к рассматриваемой точке. Эта система имеет равнодействующую , причём
Тогда работа силы на перемещении точки из в текущее положение М равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении:
Мощнсть.
Отношение элементарной работы силы к промежутку времени, за которое оно произошло, называется мощностью.
Так как то
Мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки её приложения.
Работа сил, приложенных к твёрдому телу при его различных движениях
Работа силы при поступательном движении твёрдого тела.
При поступательном движении твёрдого тела векторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы. Тогда элементарная работы силы
Полная работа силы на каком-либо перемещении
Работа силы при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела
Полная работа:
Работы составляющих силы по нормали и бинормали равны нулю, так как они направлены всегда перпендикулярно к вектору скорости точки М приложения силы. Следовательно, элементарная работа силы совершается только её составляющей по касательной к траектории, т.е.
|
|
Поскольку , то
Где h – кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения.
Учитывая, что - момент силы относительно оси Oz, получаем
Работа силы в общем случае движения свободного твёрдого тела
Элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твёрдого тела, в общем случае его движения равна сумме элементарных работ на элементарном поступательном перемещении вместе с полюсом и элементарном вращательном перемещении вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.
Скорость точки М приложения сила в рассматриваемом случае
Где - скорость полюса А; . Тогда
Так как
то
или
где - проекция на вектор ; - элементарный угол поворота тела вокруг мгновенной оси относительного вращения.