Понятие операционного исследования

Математические модели и методы их расчета

Классификация мат.моделей, используемых при решении метрологических задач.

Математические модели измерительных систем

Математическое моделирование – один из элементов операционного исследования. ММ.- математическая система отношений (МСО), приближенно, в абстрактном виде описывающих изучаемый процесс, технич.средство или систему.

Мацнев А.П.

Bпервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время впервые был применен термин: «операционное исследование», подразумевающий исследования военной операции. В последующие годы операционные исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении реальными процессами и системами.

Решения человек принимал всегда и во всех сферах своей деятельности. Раньше хотели, чтобы принимаемые решения всегда были правильными. Теперь принято говорить, что решения должны быть оптимальными. Чем сложнее объект управления, тем труднее принять решение, и, следовательно, тем легче допустить ошибку. Вопросам принятия решений на основе применения ЭВМ и математических моделей посвящена новая наука «Исследование операций», приобретающая в последние годы все более обширное поле приложений. Эта наука сравнительно молодая, ее границы и содержание нельзя считать четко определенными.

Предмет под названием «Исследование операций» входит в программу элитарных вузов, но не всегда в этот термин вкладывается одно и то же содержание. Некоторые ученые под «исследованием операций» понимают, главным образом, математические методы оптимизации, такие как линейные, нелинейные, динамическое программирование. Другие к исследованию операций подходят с позиции теории игр и статистических решений. Наконец, некоторые ученые вкладывают в понятие «исследование операций» чрезмерно широкий смысл, считая ее основой системного анализа и «наукой наук».

Под термином «исследование операций» мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Окончательно термин «исследование операций» закрепился в конце Второй мировой войны, когда в вооруженных силах США были сформированы специальные группы математиков и программистов, в задачу которых входила подготовка решений для командующих боевыми действиями. В дальнейшем исследование операций расширило область своих применений на самые разные области практики: экономика, транспорт, связь и даже охрана природы.

Чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо, кроме опыта и интуиции. Правда, никакой гарантии правильности, а тем более оптимальности при этом нет. Подчеркнем, что ЭВМ никаких решений не принимает. Решение принимает человек (ЛПР). А ЭВМ только помогает найти варианты решений. Непременное присутствие человека (как окончательный инстанции принятия решений) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов, есть тоже решение. По мере автоматизации управления функции человека перемещаются с одного уровня управления на другой - высший. Основные этапы решения задачи принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ показаны на Рис. 1.

Выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:

должно существовать, как минимум, два варианта ее решения (ведь если вариант один, значит и выбирать не из чего);

надо четко знать в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим (кто не знает, куда ему плыть - тому нет и попутного ветра).

Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой. Когда производится содержательная постановка задачи, к ней привлекаются специалисты в предметной области. Они прекрасно знают свой конкретный предмет, но не всегда представляют, что требуется для формализации задачи и представления ее в виде математической модели.

Хорошую модель составить не просто. Известный математик Р.Беллман сказал так: «Если мы попытаемся включить в нашу модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях; если слишком упростим ее, то она перестанет удовлетворять нашим требованиям». Таким образом, исследователь должен пройти между западнями Переупрощения и болотом Переусложнения. Для выполнения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости. Эти правила применительно к задачам математического моделирования и формулируются так: учесть главные свойства моделируемого объекта; пренебрегать его второстепенными свойствами; уметь отделить главные свойства от второстепенных.

Составление модели - это искусство, творчество. Древние говорили: «Если двое смотрят на одно и то же, это не означает, что оба видят одно и то же». И слова древних греков: «Если двое делают одно и то же, это не значит, что получится одно и то же». Эти слова в полной мере относятся к составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения.

Обобщенный вид мм. для метрологических задач

x – измеряемые величины, влияющие факторы;

а – конструктивно-технологические параметры технических средств;

z – погрешности модели из-за упрощения, внешних и внутренних факторов;

Т- время эксплуатации.

При матем. моделир. в метрологии необходимо иметь в виду, что измерительная система, измерительные сигналы, которые в ней передаются, получаемые результаты, имеют одинаковый характер, поэтому в общем случае, для них можно использовать одинаковые модели, хотя для решения частных задач, модели могут различаться.

Классификация мм.

1. Характер отклика на измеряемый параметр

- детерминированные (одинаковые отклики на одинаковые сигналы)

Пример, аналого-цифровой преобразователь, рабочая характеристика:

- стохастические (реакция на одинаковые сигналы может быть различной, известна лишь вероятность того, что отклик будет лежать в определенном интервале)

Пример, рабочая характеристика средства измерения, являющаяся полосой погрешностей:

- модели с элементами неопределенности (модели теории игр, имитационные модели).

Модели теории игр – математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс (википедия),

Дилемма заключённого (англ. Prisoner's dilemma, реже употребляется название «дилемма бандита») — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок («заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

Имитационные модели позволяют на основе известных соотношений, закономерностей имитировать процесс функционирования системы, преобразования сигнала. При этом структура моделируемой системы представляется соответствующей структурой модели.

2. Особенности детерминированных моделей

- линейные – целевая функция (суммарная погрешность измерения, оценки) линейна по управляющим переменным (измеряемым величинам, их погрешностям);

Если реакция системы (модели, сигнала) на сумму воздействий равна сумме реакций на отдельные воздействия

$

- нелинейные;

- динамические;

- графические - позволяют процедуру решения задачи представлять графически,

3. Изменение измеряемого параметра во времени

- статические (в виде алгебраических выражений);

- динамические (описываются дифференциальными уравнениями – уравнениями состояния)

; т.е. измеряемые величины – временные процессы x(t). Если конструктивно-технологические параметры а постоянны, модель детерминированная!!!! Взаимодействие большого числа элементов системы приводит к увеличению порядка дифф. уравнения.

4. Особенности стохастических моделей

- модели стохастического программирования (используются для решения задач оптимизации, например, для формирования требований к методу или средству измерения, которые обеспечивают предельное значение погрешности. Отличие от детерминированных заключается в том, что учитываются все или почти все возможные значения влияющих случайных переменных, вероятности появления этих переменных и с помощью модели находится максимальное значение математического ожидания целевой функции.

Википедия: Наиболее широко применяются и хорошо изучены двухэтапные линейные модели стохастического программирования. Здесь лицо, принимающее решение, предпринимает некоторое действие на первом этапе, после которого происходит случайное событие, оказывающее влияние на результат решения первого этапа. На втором этапе может тогда быть принято корректирующее решение, которое компенсирует любые нежелательные эффекты в результате решения первого этапа.

Оптимальным решением такой модели является единственное решение первого этапа и множество корректирующих решений (решающих правил), определяющих, какое действие должно быть предпринято на втором этапе в ответ на каждый случайный результат.

- модели теории случайных процессов (любой измерительный сигнал измеряется во времени и представляет собой случайный процесс); для изучения процессов, состояние которых в каждый момент време­ни является случайной величиной;

- модели теории массового обслуживания (многоканальные системы обеспечения требований). В метрологии такие модели представляют интерес при организации метрологической службы предприятия (предметомисследованиятеории массового обслуживанияв этом случае могут являтьсявероятностные модели физических систем, выполняющих какие-то процессы - измерения, контроль, тестирование.