2014-02-24
9409
1. Область определения;
Задавая функцию формулой, необходимо указывать и область ее задания, т. е. совокупность значений аргумента, при которых данная функция имеет смысл, существует.
Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция:
| y = f (x), |
Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)).
D(f±g)=D(f)∩D(g)
D(f ∙ g)=D(f)∩D(g)
D()=D(f)∩D(g)\{x,g(x)=0}
D(f°g)={x D(g)|g(x) D(f)}
2. Множество значений;
Множеством (областью) значений Е(y) функции у = f(x) называется множество всех таких чисел у0, для каждого их которых найдется число х0, такое что
f(x0) = у0.
3. Нули функции
Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем) функции. Функция может иметь несколько нулей. Геометрически - нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х.
4. Четность
Функция f (x) называется четной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) = f(x);
Функция f(x) называется нечетной, если для каждого х из области определения Df функции f(x) выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Из равенств f(-x)= f(x) или f(-x)=-f(x) следует:
1. Область определения Df функции f(x) есть множество, симметричное относительно точки ноль, т. е. для всякого x и - x;
2. Значения функции f(x) в симметричных точках совпадают или противоположны.
Понятия четной или нечетной функции можно вводить, и исходя из геометрических представлений о симметрии:
функция f(x), график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной;
функция f(x), график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной.
5. Периодичность;
В природе и технике достаточно часто встречаются процессы, которые периодически повторяются с течением времени. Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций.
Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место:
f (x + T) = f (x). Число Т называется периодом функции. Наименьший положительный период называется основным (главным) периодом. Из равенства f (x + T) = f(x) следует, что для всякого хÎDf и (х+Т) Î Df, т.е. Df- периоди-ческое множество. Все тригонометрические функции являются периодическими.
6. Монотонность;
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2). Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.
7. Ограниченность;
Если существует число с такое, что для любого х ÎD выполняется неравенство f (x) ≤ с, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D.
Если существует число c такое, что для любого х ÎD выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D. Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C, где х ÎD.
Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.
8. Непрерывность;
Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x=a, если выполняется соотношение.
Или: Функция y=f(x) непрерывна в точке x=a, если в этой точке выполняется следующее условие: если, то. Причем, — приращение аргумента в точке а, а — приращение функции в точке а.
Обратить внимание на
1) Функция должна быть определена в точке а;
2) Предел функции в точке а должен существовать;
3) Этот предел должен быть равен значению функции в точке а;
Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, в точке а функция не является непрерывной.
Определение: Функцию y=f(x) называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Каждая из рассмотренных ранее основных элементарных функций непрерывна в каждой точке области определения этой функции, и если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).
Определение: Точки, в которых нарушается условие непрерывности функции, называют ее точками разрыва.
Чаще всего разрыв возникает по следующим двум причинам:
а) Функция задана различными выражениями на разных участках, и при приближении к "точке стыка" с разных сторон эти выражения имеют различные пределы. Примером может служить кусочная функция:
б) Функция задана выражением, знаменатель которого в точке а обращается в нуль, в то время как числитель отличен от нуля. В этом случае. Поэтому не может выполняться равенство, и функция имеет разрыв в точке а.
9. Дифференцируемость;
Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х.
Дифференцируемость функции в точке означает наличие у графика функции в этой точке касательной, не параллельной оси оу
10.Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке;
Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).
Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).
Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума. В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.
10. Выпуклость, точки перегиба.
Определение. В промежутке а < х < b кривая— график дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.
Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а < х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.
| Y |
| X |
| a |
| b |
| c |
Если производная f '(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х < b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.
Если в промежутке а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).
Определение. Если в некоторой окрестности точки х = с кривая —график дифференцируемой функции y = f(x) — имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.
Правило нахождения точек перегиба:
1) найти вторую производную данной функции;
2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;
3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;
4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.
2-2
