Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).
Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.
Пример 11
Решить систему с матричным методом
Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где
Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.
Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).
Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.
|
|
Сначала разбираемся с определителем:
Здесь определитель раскрыт по первой строке.
Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).
Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров
Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце
В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.
Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).
Таким образом:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы.
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?
Теперь записываем обратную матрицу:
Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.
|
|
Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.
Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.
Ответ:
Пример 12
Решить систему с помощью обратной матрицы.
Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).
Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.
2-1
«Элементарные функции, свойства, графики»
Если имеются две переменные величины - x и y –и каждому рассматриваемому значению одной из них – x –соответствует вполне определенное (единственное) значение другой – y -,то первая из этих переменных называется аргументом, или независимой переменной, а вторая - ее функцией. Записывают это обычно так:
y=f (x).
Знак f обозначает закон соответствия, по которому для каждого значения переменной величины x находится отвечающее ему значение переменной y.Этот закон, определяющий или, проще говорят, задающий функцию, может быть выражен по разному:
1) математической формулой (аналитический способ задания функции)
2) таблицей (табличный способ),
3) графиком (графический способ),
4) правилом, сформулированным словами
Графиком функции у= f(x) называется геометрическое место точек плоскости, координатами которых являются значения аргумента x и соответствующие им значения функции y =f(x).
Общепринятый путь в переходе от одного способа задания функции к другому проходит по схеме:
формула, задающая функцию Þ таблица некоторых значений аргумента и функции, Þ точки графика функции в выбранной системе координат, Þ
соединение этих точек непрерывной линией: путь от формулы к графику.
Но важен и «обратный путь»: от графика функции к формуле, ее задающей.
Рассмотреть графики элементарных функций и их свойства. В тетради желательно изобразить таблицу.
Обратные тригонометрические y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx |
Логарифмическая |
Основные элементарные функции |
Тригонометрические y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx |
Показательная |
Степенная |
Функция | Формула | График |
Линейная | y=k x + b | |
Квадратичная | = ax 2+ bx + c, a 0 | |
Обратная пропорциональность | =, k 0 | |
Тригонометрические | =sin x, | |
=cos x, | ||
=tg x | ||
=ctg x | ||
Обратные тригонометрические | =arcsin x | |
=arcсos x | ||
=arctg x | ||
=arcctg x | ||
Показательная | ||
Логарифмическая | =loga x, a >0, a 1 | |
Степенная |