double arrow

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы.

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.









Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы.

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу?

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ:

Пример 12

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!.

2-1

«Элементарные функции, свойства, графики»

Если имеются две переменные величины - x и y –и каждому рассматриваемому значению одной из них – x –соответствует вполне определенное (единственное) значение другой – y -,то первая из этих переменных называется аргументом, или независимой переменной, а вторая - ее функцией. Записывают это обычно так:

y=f (x).

Знак f обозначает закон соответствия, по которому для каждого значения переменной величины x находится отвечающее ему значение переменной y.Этот закон, определяющий или, проще говорят, задающий функцию, может быть выражен по разному:

1) математической формулой (аналитический способ задания функции)

2) таблицей (табличный способ),

3) графиком (графический способ),

4) правилом, сформулированным словами

Графиком функции у= f(x) называется геометрическое место точек плоскости, координатами которых являются значения аргумента x и соответствующие им значения функции y =f(x).

Общепринятый путь в переходе от одного способа задания функции к другому проходит по схеме:

формула, задающая функцию Þ таблица некоторых значений аргумента и функции, Þ точки графика функции в выбранной системе координат, Þ

соединение этих точек непрерывной линией: путь от формулы к графику.

Но важен и «обратный путь»: от графика функции к формуле, ее задающей.

Рассмотреть графики элементарных функций и их свойства. В тетради желательно изобразить таблицу.

Обратные тригонометрические y=arcsinx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx
Логарифмическая
Основные элементарные функции
Тригонометрические y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx
Показательная
Степенная

Функция Формула График
Линейная y=k x + b  
Квадратичная = ax 2+ bx + c, a 0  
Обратная пропорциональность =, k 0  
Тригонометрические =sin x,  
=cos x,  
=tg x  
=ctg x
Обратные тригонометрические =arcsin x  
=arcсos x  
=arctg x  
=arcctg x  
Показательная  
Логарифмическая =loga x, a >0, a 1  
Степенная  

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: