Прямая линия в пространстве

Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Литература.

Основные вопросы.

1.Понятие об уравнении поверхности и линии в пространстве.

2. Различные формы задания уравнения плоскости. Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

3. Прямая линия в пространстве.

1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник. Алматы.2003 г.

2. Невердовский В.Г. «Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия». Учебное пособие. Академия ГА 2012г.

3. Невердовский В.Г., Байбазаров М.Б. Сборник задач по высшей математике. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алматы. 2010г.

Кратное содержание лекции

Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение F(x, у, z) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Пример. – уравнение сферы.

1⁰. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с задан­ным нормальным вектором.

Уравнение плоскости имеет вид, где точка, лежащая на плоскости, а вектор – нормальный вектор этой плоскости.

2⁰. Общее уравнение плоскости и его частные случаи.

Всякую плоскость в пространстве можно задать линейным уравнением относительно координат

Если в уравнении D = 0, то плоскость проходит через начало координат. При А = 0 (В = 0, С = 0) плоскость параллельна оси Ох (оси Оу, оси Оz), при А=В=0 (А=С=0, В=С=0) плоскость параллельна плоскости Оху (плоскости Oхz, плоскости Oyz).

3⁰. Уравнение плоскости в отрезках.

Эта плоскость пересекает оси координат в точках.

4⁰. Нормальное уравнение плоскости.

Если, то уравнение плоскости может быть записано в виде

которое называется нормальным уравнением плоскости.

направляющие косинусы нормального вектора, а р – расстояние от начала координат до плоскости.

5⁰. Уравнение плоскости, походящей через три точки.

Плоскость однозначно определяется тремя своими точками, не лежащими на одной прямой.

Уравнение плоскости имеет вид

Угол j между плоскостями и определяется по формуле

Второй угол равен

Условие параллельности плоскостей

Условие перпендикулярности плоскостей

Всякая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух поверхностей, задаваемых своими уравнениями. В частности, прямая линия l определяется совместным заданием двух уравнений первой степени:

при условии, что коэффициенты первого из них не пропорциональны коэффициентам второго. В этом случае плоскости, определяемые этими уравнениями, не будут параллельными и не будут совпадать.

Эта форма задания прямой в пространстве называется общие уравнения прямой в пространстве. Следует отметить, что одна и та же прямая может задаваться различной парой пересекающихся плоскостей.

Прямая может быть задана точкой и параллельным ей вектором (направляющим вектором), тогда ее уравнение в координатной форме записывают в виде

.

Эта форма задания прямой в пространстве называется канонические уравнения прямой. Форма записи канонических уравнений прямой сохраняется и в том случае, когда одна или две координаты направляющего вектора равны нулю.

В канонических уравнениях прямой обозначим равные отношения через t. Будем иметь:

.

Выражая текущие координаты прямой через параметр t, получим параметрические уравнения прямой:

Если две прямые и заданы каноническими уравнениями

.,

то угол j между ними определяется как угол между их направляющими векторами и вычисляется по формуле

Условие параллельности двух прямых:

Условие перпендикулярности двух прямых:

Если прямая l задана каноническими уравнениями

,

а плоскость a общим уравнением, то угол j между прямой и плоскостью вычисляется по формуле