Основные вопросы. Тема: Введение в математический анализ

Лекция № 7

Тема: Введение в математический анализ. Предел функции.

Цель лекции: Изучить важнейшие понятия математического анализа: понятия предела и непрерывность функции, их свойства и действия над ними

1. Определение функции. Основные понятия, относящиеся к определению функции.

2. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечно удаленной точке.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций.

4. Основные теоремы о пределах. Два замечательных предела.

5. Сравнение бесконечно малых. Применение бесконечно малых для вычисления пределов.

6. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

7. Операции над непрерывными функциями. Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

Литература:

1. Пискунов Р.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М, Наука 1985. Т.1.гл. ІІ §1-11.

2. Невердовский В.Г. Введение в анализ. Учебное пособие. А: АГА, 2004.

Краткое содержание лекции.

1. Определение функции. Основные понятия, относящиеся к определению функции.

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей свой области изменения Х, поставлено в соответствие по некоторому закону f единственное значению другой переменной величины у, то у называется функцией от х и обозначается

Множество значений независимой переменной Х называется областью определения, или областью существования функции. Обозначается D(f). Множество значений функции у называется областью изменения функции или областью ее значений. Обозначается Е(f). При этом эти множества могут быть открытыми, закрытыми интервалами или полуинтервалами.

Графиком функции называется множество точек плоскости абсциссами которых являются значения аргумента х, а ординатами – соответствующие значения функции f(x).

2. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечно удаленной точке.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х ®, если для любого числа e > 0 найдется такое число d = d(e) >0, что для всех х, для которых выполняется неравенство будет выполняться неравенство

В этом случае пишут

Иногда для исследования поведения функции вблизи некоторых точек нужно знать, к чему стремится f(x), когда, оставаясь правее (т.е. при) и когда, оставаясь левее (т.е. при). Такие пределы функции называются соответственно правыми или левыми пределами функции в точке. Эти пределы обозначаются следующим образом: - предел справа; - предел слева.

Из условия существования обычного предела следует, что существуют оба односторонние пределы, и они равны Верно и обратное утверждение.

Предел функции обобщается и на тот случай, когда не есть конечное число, если ввести понятие окрестности бесконечно удаленной точки как множество всех значений х, для которых | x | > M, где М > 0 – произвольное число.

Число А называется пределом функции f(x) при х ®¥, если для любого числа e > 0 найдется такое число М = М (e) >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству | x | > M, будет выполняться неравенство

В этом случае пишут