Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Литература.

Основные вопросы.

1.Понятие об уравнении линии на плоскости.

2. Различные формы задания уравнения прямой линии на плоскости.

3. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности.

1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник.Алматы.2003 г.

2. Невердовский В.Г. «Элементы линейной и векторной алгебры. Аналитическая геометрия». Учебное пособие. Академия ГА 2012г.

3. Невердовский В.Г., Байбазаров М.Б. Сборник задач по высшей математике. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Алматы. 2010г.

Кратное содержание лекции

Определение. Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение F(x, у) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты, никакой точки, не лежащей на ней. Такое определение дает основу методам аналитической геометрии, которые заключаются в том, что рассматриваемые линии исследуются при помощи анализа их уравнений.

Пример. – уравнение параболы. – уравнение окружности.

1⁰. Уравнение прямой. проходящей через данную точку с задан­ным нормальным вектором.

Пусть на плоскости Оху задана точка М₀(х₀; у₀) и ненулевой вектор =, перпендикулярный данной прямой.Любой вектор, перпендикулярный данной прямой называется нормальным вектором этой прямой.

у

М₀ (х₀;у₀)

О х

Учитывая, что и перпендикулярны, будем иметь А(х – х₀) + В(у - у₀) = 0.

2⁰. Общее уравнение прямой и его частные случаи.

Запишем уравнение А(х – х₀) + В(у - у₀) = 0 в виде Ах + Ву + С = 0, где С = -Ах₀ – Ву₀. Уравнение

Ах + Ву + С = 0

называется общим уравнением прямой, полученное уравнение является уравнением первой степени с двумя переменными х и у. Таким образом, всякая прямая на плоскости в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно х и у.

3⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.

Пусть на плоскости Оху задана прямая l не параллельная оси Оу и которая отсекает на оси Оу отрезок b, считая от начала координат. Тогда уравнение

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. – угловой коэффициент прямой, b – начальная ордината, отрезок, отсекаемый прямой по оси ординат, считая от начала координат.

4⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку парал­лельно данному вектору.

Вектор параллелен прямой l, точка Уравнение прямой имеет вид.

Если на прямой l заданы две точки М₁(х_1; у₁), М₂(х₂; у₂), то занаправляющий вектор можно взять вектор и уравнение прямой примет вид

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

5⁰. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть прямая l пересекает оси Ох и Оу в точках А (а; 0) и В(0; b). Составим ее уравнение, воспользовавшись уравнением (12). Будем иметь или

Полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Числа а и b являются абсциссой и ординатой точек пересечения прямой с осями координат соответственно.

Нормальное уравнение прямой.

Пусть положение прямой l на плоскости Оху определяетсяединичным вектором и расстоянием p этой прямой от начала координат. Тогда уравнение

называется нормальным уравнением прямой.

Пусть две прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями

Если прямые пересекаются, то существует общая точка этих прямых, координаты которой удовлетворяют каждому из уравнений.

Следовательно, для нахождения точки пересечения двух прямых нужно решить систему уравнений

(15)

При решении системы (15) возможны три случая:

1) Система имеет единственное решение. В этом случае прямые имеют единственную точку пересечения.

2) Система несовместна. В этом случае общих точек у прямых l₁ и l₂ нет. Прямые l₁ и l₂ параллельны.

3) Система уравнений (15) имеет бесчисленное множество решений. Это означает, что прямые l₁ и l₂ совпадают.

При пересечении прямых l₁ и l₂ образуются углы. Любой из этих углов назовем углом между прямыми. Прямая l₁ имеет нормальный вектор, прямая l₂ Угол между нормальными векторамии будет равен одному из углов, образованных прямыми l₁ и l₂. Поэтому, обозначая через угол между векторами и будем иметь

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то векторы и коллинеарные. Поэтому - условие параллельности двух прямых. Если прямые l₁ и l₂ перпендикулярны, то векторы и тоже перпендикулярны, следовательно

()=0, или - условие перпендикулярности двух прямых. Пусть теперь прямые l₁ и l₂ заданы в виде уравнения прямых с угловым коэффициентом.

,

где и углы наклона прямых l₁ и l₂ соответственно.

Угол между прямыми l₁ и l₂ равен j = a₂-a₁. Поэтому

Если, l₁ ç÷ l₂, то, поэтому - условие параллельности двух прямых.

Если l₁ ^ l₂,то - не существует, следовательно, знаменатель формулы равен нулю. Условие есть условие перпендикулярности двух прямых.