Смешанное произведение трех векторов

Векторное произведение двух векторов и его свойства.

Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов и называется число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов, умноженное на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается () или

.

Свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством.

2.Постоянный скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

3. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из этих векторов на проекцию другого вектора на направление, определяемое первым из указанных векторов.

4. Условие перпендикулярности двух векторов. Если ^, то

5. Скалярный квадрат равен квадрату модуля..

6. Скалярное произведение двух векторов, задаваемых своими координатами равно сумме парных произведений одноименных координат.

Векторным произведением двух векторов и называется такой третий вектор, обозначаемый символом [ ] или и который определяется следующими условиями:

1.Модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними,

2.Векторное произведение перпендикулярно перемножаемым векторам т.е. и.

3. Векторное произведение направлено так, что тройка векторов, и в указанном порядке образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения.

1. При перемене порядка сомножителей векторное произведение меняет направление на противоположное,

2. Постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

3. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Векторное произведение находится по формуле

4. Площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах, вычисляются по формулам,.

Смешанным произведением трех векторов и называется скалярное произведение вектора на вектор. Смешанное произведение трех векторов обозначается

.

Геометрический смысл смешанного произведения трех некомпланарных векторов. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

.

Условием компланарности трех векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов.

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Лекция №3 Тема: Аналитическая геометрия на плоскости.

«Прямая линия на плоскости»

Цель лекции. Аналитическая геометрия изучает геометрические образы (элементы геометрии) с помощью анализа их уравнений. Изучаемый материал значительно облегчает построение большинства математических моделей. Цель лекции состоит в изучении свойств геометрических образов, наглядность которых облегчает понимание свойств функций.