Сравнение бесконечно малых функций. Применение бесконечно малых для вычисления пределов

Два замечательных предела.

В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы замечательными.

Первый замечательный предел имеет вид

Функция не определена в точке х = 0. Говорят, что в точке х = 0 имеется неопределенность вида. Применение замечательного предела требует понимания и запоминания его структуры и при необходимости ее воспроизведения. Для предела характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида =1, если.

Вторым замечательным пределом называется предел выражения при х ®¥, который обозначается числом е.

Число е = 2,718271…, как установлено, является иррациональным числом и играет в математике такую же замечательную роль, как и число p.

Второй замечательный предел можно записать в виде

который получается из предыдущего предела, если положить. Для этого предела характерно то, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой же бесконечно малой. Следовательно, всякий предел вида так же будет равен е, если. С помощью второго замечательного предела раскрывается неопределенность вида.

Для решения различных задач для упрощения вычислений приходится заменять сложные аналитические выражения более простыми. В связи с этим возникает необходимость сравнивать между собой бесконечно малые и бесконечно большие функции при одном и том же стремлении их аргумента. Для сравнения таких функций рассматривают предел их отношения при одном и том же изменении их аргумента.

Пусть a(х) и b(х) - бесконечно малые функции при х®а (или х®¥).

Если, то бесконечно малые a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Если, то бесконечно малые a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми. Этот факт записывается следующим образом a(х) ~ b(х)

Если (или), то бесконечно малая a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b(х) (при этом бесконечно малая b(х) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем a(х)).

Для более точного сравнения бесконечно малых a(х) и b(х) в случае, когда a(х) является величиной более высокого порядка, чем b(х), то a(х) сравнивается с функциями вида Если для некоторого значения k оказывается, что, то функция a(х) называется бесконечно малой k -го порядка относительно b(х).

Свойства бесконечно малых функций.

1. На основании первого замечательного предела можно доказать, что функции, а на основании второго - функции являются эквивалентными бесконечно малыми при х ®0.

2. Теорема 1. Если a(х) и b(х) - бесконечно малые `при х®а и a(х) ~ a (х), b(х) ~ b (х), то

1. ~ и =.

2. и

3. Теорема2. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теоремы о свойствах бесконечно малых функций позволяют находить пределы, заменяя бесконечно малые на эквивалентные им.