Экстремум функции двух переменных

Частные производные функции двух переменных. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Пусть функция является непрерывной функцией своих переменных в некоторой области. Если в этой области одну из переменных считать постоянной, то функция станет функцией одной переменной. Тогда такую функцию можно дифференцировать по обычным правилам. Таким путем мы приходим, с учетом сделанного предположения, к понятию частной производной.

Определение. Частной производной от функции по независимой переменной x называется производная

Которая найдена при постоянном значении переменной x.

Частные производные функции обозначаются следующим образом:

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пусть в области задана функция двух переменных, которая определена в точке в некоторой ее окрестности и пусть точка принадлежит этой окрестности. Полнымприращением функции в точке называется разность

Если представимо в виде

(4)

где А и В постоянные, не зависящие от, и есть бесконечно малые при, то функция называется дифференцируемой в точке

Определение. Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения, линейная относительно приращений аргументов, то есть

Покажем, что полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Действительно, так как в (4) - произвольные бесконечно малые, то можно взять, тогда и для полного приращения будем иметь

Разделим все выражение на и перейдем к пределу при Тогда будем иметь

Так как в зависимости от знака, то Аналогичным образом получаем, что

Учитывая, что для вычисления полного дифференциала функции двух переменных, будем иметь формулу

Пусть функция определена в некоторой области D и точка

Определение. Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции если существует такая окрестность точки, что для каждой точки,, выполняется неравенство

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Обозначается

)

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Отметим, что, в силу определения, точки экстремумов функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к. В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.