Основные понятия и определения. 1 Основные понятия и определения функции нескольких переменных

Основные вопросы.

1 Основные понятия и определения функции нескольких переменных.

2. Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных.

3. Приложение частных производных. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Литература:

1. Пискунов Р.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М, Наука 1985. Т.1.гл. V §1-11.

2. Невердовский В.Г. Основы математического анализа. Учебное пособие. А: АГА, 2012.

Краткое содержание.

При решении различных задач приходится изучать зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.

Например, изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая распределение температуры в различных точках тела, заключаем, что его температура зависит от трех переменных: x, y, z. Если температура тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то она будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t. Таким путем мы приходим к понятию функции, зависящей от нескольких переменных.

Определение. Пусть произвольное множество точек n -мерного евклидового пространства. Если каждой точке поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону f единственное значение другой переменной величины то говорят, что переменная z является функцией от n переменных и обозначается

При этом множество D называется областью определения функции, а множество областью значений функции

В частном случае n = 2 функция двух переменных рассматривается как функция точек плоскости в трехмерном пространстве с фиксированной системой координат

Для функции двух переменных x и y, как и для функции одной переменнойвозможно геометрическое представление (в декартовых координатах пространства

Графиком функции двух переменных называется множество точек в трехмерном пространстве координаты которых удовлетворяют уравнению и которые представляют собой некоторую поверхность пространства

Для исследования формы поверхности, описываемой функцией двух переменных применяются так называемые линии уровня (для функции трех переменных – поверхности уровня).

Определение. Линией уровняфункции двух переменных называется плоская кривая, которая получается при пересечении графика этой функции плоскостью, параллельной координатной плоскости.

Уравнения линий уровня имеют вид

где C – постоянная величина.

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины С, проектируются на координатную плоскость. В этом случае их удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности, описываемой функцией.

Определение. Конечноечисло A называется пределом функции при стремлении точки к точке, если для любого числа найдется такая – окрестность точки, что для любой точки M из этой окрестности, кроме, быть может самой точки, имеет место неравенство

Этот факт обозначается следующим образом:

Определение. Функция называется непрерывной в точке, если

Это определение предполагает, что:

1) функция должна быть определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2) должен существовать конечный предел функции при этот предел дожжен быть равен значению функции в точке