Основные вопросы. Производные высших порядков

Лекция № 10.

Производные высших порядков.

Таблица производных основных элементарных функций.

у		у
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a,b). Тогда ее производная f’(x) является функцией от х. Пусть эта функция также имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f(x). Вторая производная обозначается символом у” или f”(x)

Пример.

Производной n- го порядка функции y=f(x) называется первая производная от производной (n – 1 ) – го порядка данной функции и обозначается

Пример.

Тема: Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков.

Цель лекции: Изучить применение производных к исследованию основных элементов поведения функции: возрастания и убывания функции, экстремумов, выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба.

1. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

3. Асимптоты графика функции.

4. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Литература:

1. Пискунов Р.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М, Наука 1985. Т.1.гл. V §1-11.

2. Невердовский В.Г. Производная и дифференциал. Учебное пособие. А: АГА, 2004.

1. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

Функция y= f(x) называется возрастающей (убывающей) на (a,b), если для любых, таких, что ().

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если " на (а,b).

Точка называется точкой максимума (минимума) функции y= f(x), если функция непрерывна в этой точке и можно указать такую d-окрестность точки, что для всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство

При этом значение называется максимумом (max) (минимумом (min)) функции. Максимум и минимум функции называются экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума. Если в точке функция непрерывна и имеет экстремум, то f’() = 0 или производная в этой точке не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Достаточный признак существования экстремума.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки, включая саму точку, и производная f’() существует в окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки.

Тогда, если:

1) (знак +) при х < и (знак -) при х >, то функция в точке достигает максимума;

2) (знак -) при х < и (знак +) при х >, то функция в точке достигает минимума;

3) f’() не меняет знак, то экстремума нет.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение. Область определения – вся числовая ось. D(f) = (-¥,¥)

Находим производную f’(x). y’ =

Находим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.

критические точки первого рода.

х	(-¥,-1)	-1	(-1,1)		(1,¥)
y’	-		+		-
y		min		max

Интервалы (-¥,-1), (1,¥) – интервалы убывания. Интервал (-1,1) – интервал возрастания. В точке х = -1 функция имеет минимум, в точке х = 1 – максимум.

2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Функция y= f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a,b), если на этом интервале она дифференцируема и ее график расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b)

. Достаточное условие выпуклости и вогнутости функции.

Если f”(x) <0 для xÎ (a,b), то функция выпукла на интервале (a,b), а если f”(x) >0 для xÎ (a,b), то функция вогнута на этом интервале.

Точка графика функции, отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба.

Если непрерывная функция y= f(x) имеет в точке перегиб, то или вторая производная в этой точке не существует.