Лекция №11 асимптоты графика функции

Общая схема исследования функции.

Асимптоты графика функции.

Точки, в которых или вторая производная в этих точках не существует, называются критическими точками второго рода.

Достаточные условия существования точки перегиба.

Если при переходе через критическую точку слева направо вторая производная меняет знак, то имеется перегиб; если перемены знака нет, то перегиба нет.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y=.

Решение. Найдем область определения функции. D(f) =(-¥,+¥)

Найдем вторую производную. Найдем критические точки второго рода. - критическая точка.

х	(-¥,-2)	-2	(-2,+¥)
y”	-		+
y	выпукла	Пер.	вогнута

(-2, -2) – точка перегиба. Таким образом,

(-¥,-2) - интервал выпуклости, (-2,+¥) - интервал вогнутости.

При исследовании функции необходимо установить ее поведение при удалении текущей точки графика функции от начала координат. В некоторых случаях это можно сделать с помощью прямой, к которой неограниченно приближается текущая точка графика функции при удалении ее от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Пусть М(х,у) – текущая точка графика функции. Точка М (х,у) может удаляться от начала координат следующим образом:

1) х® а, у® ¥; 2) х®¥, у® b, 3) x®¥, y®¥.

В первом случае имеем, и прямая x = a является вертикальной асимптотой. Во втором случае и прямая y = b будет горизонтальной асимптотой. В третьем случае график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид y = kx +b.

Необходимое и достаточное условие существование невертикальных асимптот устанавливается с помощью теоремы:

Теорема. Для того чтобы прямая y = kx +b была асимптотой графика функции, необходимо и достаточно существование пределов

Если не существует хотя бы один из пределов, то невертикальных асимптот нет.

1. Нахождения области определения функции и точек разрыва.

2. Исследовать поведение функции на границе области определения.

3. Найти асимптоты графика функции.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

6. Исследовать функцию на экстремум. Найти интервалы монотонности.

7. Найти точки перегиба функции и интервалы выпуклости и вогнутости.

8. Используя результаты исследования, построить график функции.

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

Тема: Функции нескольких переменных. Частные производные функций нескольких переменных. Экстремум функции двух переменных.

Цель лекции. Изучить основные понятия и определения функции нескольких переменных. Изучить нахождение частных производных и их применение к решению задач оптимизации.