Построение простейших математических моделей

При построение математических моделей необходимо:

- определить элементы решения;

- определить, что является критерием эффективности задачи, то есть целевой функцией;

- составить систему ограничений с учетом дисциплинирующих факторов задачи.

Рассмотрим пример построения простейшей математической модели: задачи о планировании производства.

Предприятие производит изделия трех видов: U₁,U₂,U₃. По каждому виду изделий известен план: b₁,b₂,b₃. План может быть перевыполнен, но в определенных границах: не более p₁,p₂,p₃ единиц соответственно.

На изготовление изделий идет какое-то сырье. Всего имеется 4 вида сырья: S₁,S₂,S₃,S₄, причем, запасы сырья ограничены числами y₁,y₂,y₃,y₄ соответственно. Для изготовления единицы изделия i-го вида (i=1,3) требуется A[i,j] единиц сырья j-го вида (j=1,4). При реализации единицы изделия i-го вида получают прибыль С_i.

Требуется так спланировать производство, чтобы план был выполнен или перевыполнен, но при отсутствии затоваривания, а суммарная прибыль обращалась бы в максимум.

Решение

Для удобства условие задачи запишем в таблицу

I. Определим, что будет являться элементами решения.

В нашем примере это будет количество выпускаемых изделий каждого типа

Обозначим их через х₁, х₂, х₃ соответственно.

II. Целевой функцией будет максимальная прибыль от реализации. Запишем ее в виде уравнения:

F=C₁X₁+C₂X₂+C₃X₃→max (1)

или

III. Составим ограничения (дисциплинирующие условия)

а) с учетом выполнения плана

(2)

б) с учетом условия спроса

(3)

в) с учетом запасов сырья и нормы расходов.

(4)

Целевая функция (1) с ограничениями (2)- (4) и представляют математическую модель задачи.