Одиночный импульс

Последовательность импульсов произвольной формы.

Последовательность униполярных прямоугольных импульсов.

Названная последовательность (рис. 3.16, а) находит широкое применение в дискретных и цифровых радиосистемах. Для анализа выберем начало отсчета так, чтобы функция была четной.

Ее уравнение

Поэтому пределы интегрирования надо ограничить длительностью импульса. Постоянная составляющая

где − скважность − параметр импульсных сигналов, показывающий, во сколько раз импульсы короче периода их повторения. Для радиолокационных сигналов типичны значения:. Амплитуды гармоник

Подставив, получим уравнение частотного спектра:

где − закон изменения огибающей АЧС (на рис. 3.16, а − штриховая линия).

Из анализа этого уравнения вытекают следующие свойства АЧС и ФЧС импульсов при высокой скважности (рис. 3.16, а):

1. При повышении частоты (увеличении п) амплитуды гармоник изменяются по затухающему колебательному закону, проходя через нулевые значения, когда.е. на частотах Такая структура спектра называется лепестковой.

2. Амплитуды низших (1-, 2-, 3-й и т. д.) гармоник практически одинаковы и равны. Действительно, если при, то.

3. Теоретически ширина спектра не ограничена. Практически ее ограничивают участком, в пределах которого содержится заданная часть энергии колебания. Например, если принять, что эффективная ширина спектра (рис. 3.16, а то в ее пределах окажется около 90 % энергии.

4. Фазы гармоник изменяются на 180°, когда изменяет знак, т. е. на частота Фазочастотный сигнал показан на рис. 3.16, а..

При любом изменении формы импульсов должны измениться модель сигнала и результаты интегрирования по формулам Фурье. Это приведет к изменению АЧС и ФЧС. Неизменными останутся следующие свойства спектров:

1) АЧС любой периодической последовательности имеет линейчатую (дискретную) и лепестковую структуру;

2) чем короче импульсы, тем шире спектр;

3) чем "реже" следуют импульсы (больше и меньше,тем "гуще" спектр – ближе друг к другу спектральные линии;

4) изменение формы импульса вызывает деформацию огибающей АЧС. 1

Для перехода от периодической последовательности к одиночному импульсу (рис. 3.16, б) надо неограниченно увеличивать период (). При этом происходят следующие изменения в спектре:. |

1. Интервал между спектральными линиями, равный,сокращается, и в пределе они сливаются. Линейчатый спектр превращается в сплошной, для которого понятие "гармоника" теряет смысл, так как частоты, на которых обнаруживается напряжение, принимают любые значения. Поэтому в уравнении АЧС − надо заменить на (или на). Частота как интервал между гармониками становится бесконечно малой. Обозначим ее.

2. Значения составляющих по мере увеличения Т уменьшаются, становясь в сплошном спектре бесконечно малыми. Действительно,

3. Форма огибающей спектра не изменяется, так как частоты нулевых точек, равные при неизменной длительности импульса, не смещаются.

4. Ряд Фурье превращается в интеграл Фурье, так как слагаемые становятся бесконечно малыми, а функция − непрерывной. Этот переход приводит к следующему результату. Из формулы ряда Фурье для периодического сигнала

переходя к одиночному импульсу, получаем формулу

где − спектральная плотность (или спектральная характеристика) импульса. Ее значение на произвольной частоте (или) равно амплитуде колебания, приходящейся на 1 рад/с (или 1 Гц) в бесконечно узкой части спектра, содержащей частоту.

В ходе преобразования выражений следует учесть, что для одиночного импульса и. Кроме того, надо разделить на, считая коэффициентом, и умножить подынтегральное выражение на, заменив его на. Внеся период под знак интеграла и обозначив, убедимся в том, что огибающие спектров совпадают по форме и отличаются лишь масштабом, а также в том, что размерность в В/Гц.

Обратное преобразование Фурье. Гармонический анализ − нахождение по заданной модели сигнала частотного спектра − называется прямым преобразованием Фурье. Для решения обратной задачи − синтеза сигнала соответствующего заданному спектру, требуется обратное преобразование. Его можно произвести способом замены переменной. Действительно, если в уравнении переменную заменить на, а в уравнении заменить на, то графики не изменятся, но спектр и модель сигнала "поменяются местами". В качестве примера на рис. 3.16, в показан результат обратного преобразования. Найден сигнал, спектр которого является равномерным от нуля до частоты. Поскольку огибающая спектра имеет форму прямоугольника, модель сигнала. Такой подход позволяет определять сигналы, обладающие оптимальным для заданных условий частотным спектром.