Пример 12

1.4 Функции и способы их задания

Пусть X hY множества. Функцией называют правило, но которому каждому x G X ставится в соответствие y ^Y. Множество X называют .мноэюесшвсм определения функции, а Y — мноэюесшвом значений. Если X и Y являются подмножествами М, то функции называют числовыми.

-N0N

Рис. 7: N -окрестность точки оо

х + у

х+у

Рис. 8: Неравенство треугольника

Чтобы о функции можно было говорить коротко, функции дают имя. Например, ln, exp, sin. Это — имена стандартных функций. В качестве имени функции, с которой работают временно, обычно используют букву f. Символ f(x) означает значение функции в точке x, т. е. тот y, который сопоставляется функцией данному x. Подчеркнем, что символы f и f(x) имеют разный смысл, f есть имя функции, а f(x) — число. Иногда для большей выразительности речи символы f и f(x) пе различают. Если имя функции не было задано, то но умолчанию используют обозначения

yиy(x).

Для некоторых часто встречающихся ситуаций имеются общеприня­тые символические сокращения. Например, тот факт, что f есть функ­ция с областью определения X и множеством значений Y символически записывают так:

f:X^Y

и коротко читают так: f действует из X bY. Но аналогии с этим вместо y = f(x) можно написать

f: x^y,

что коротко читают так: f переводит x в y. Способы задания функции:

(а) Аналитический способ: указывается формула, по которой, зная x, можно вычислить y. Например, y = x^ или y = л/x. Областью опре­деления функции, заданной аналитически, по умолчанию считают множество всех x, для которых аналитическое выражение имеет смысл {область допустимых значений или ОДЗ). Иногда функ­цию задают с помощью нескольких аналитических выражений, со­единенных логическими операциями; примером такого задания яв­ляется формула (1.1).

(b) Табличный способ: перечисляют все x G X и для каждого из них указывают соответствующий y ^Y. Например,

Недостаток этого способа заключается в том, что с его иомогцью можно задать только функцию, имеюгцую конечную область опре­деления.

(с) Графический способ: задается график функции. Графиком функ­ции f называют множество точек на плоскости, имеюгцих коорди­наты (x, f(x)). Примеры: рис. 13 и 14. Преимущество графического способа задания — его наглядность, а недостаток — невысокая точ­ность.

Рис. 9: График функции y

x

Чтобы но графику, зпая x, вычислить f (x), надо пайти на оси X точку x, восстановить из нее нернендикуляр до пересечения с гра­фиком, а затем через точку пересечения провести горизонтальную прямую; эта горизонтальная прямая пересечет ось Y как раз в точке

y = f(x).

Универсальный, по медленный способ построение графика:

надо нарисовать много точек с координатами (x,f (x)) и соединить их плавной линией.

(d) Неявный способ: зависимость y от x задается уравиеиием F(x,y) 0. Например, x ² + y ² = 1.

2 /

1 /

-----,------,---- /_ --,-----,--- ^.

3 -2 - 1 12 3

См. рис. 15, 28, 31.

1.7 Слож:ная функция

Слоэюной функцией называют функцию вида y = f(u(x)). Говорят также, что это суперпозиция или композиция, функций f и u. Функцию f называют внешней, а функцию u — внутренней.

Пример 1. Функция y = l n x является сложной с внутренней u (x) = ln x и внешней f(u) = u^.

1.8 Элементарные функции

Основными элементарными функциями называют функции следую­щих пяти классов:

(a) y = xα — степенная;

(b) y = a^x — показательная, здесь a > 0;

(c) y = log a x — логарифмическая, здесь a > 0,a = 1;

(d) y = sin x и y = cos x — тригонометрические;

(e) обратные тригонометрические.

Графики основных элементарных функций надо знать на­изусть.

Элементарной называют функцию, заданную с помощью (одного) аналитического выражения, составленного из констант, основных эле­ментарных функций, знаков арифметических действий и операции об­разования сложной функции.

Пример 2. Функция у = \х\ не является элементарной.

Рис. 28: График функции y = tgx

Рис. 29: График функции y = arctg x

Рис. 30: Графики функций y = tgx и y = arctg x

Рис. 31: График функции y = ctg x

Рис. 33: Графики функций y = ctg x и y = arcctg x

Глава 2

Уравнение прямой

2.1 Уравнение линии на плоскости

С интуитивной точки зрения линия — это след, оставляемый движу­щейся точкой.

Уравнением линии называют уравнение, которому удовлетворяют ко­ординаты каждой точки, принадлежащей данной линии, но не удовле­творяют координаты любой точки, не принадлежащей данной линии. Например, y = x^, x^ +y^ = 1.

Правило: Чтобы проверить, принадлежит ли точка линии, надо ко­ординаты точки подставить в уравнение линии.

Различают два тина уравнений:

y = f (x), (2.1)

F(x,y) = 0. (2.2)

Примеры таких уравнений:

x^ + y^ = 1.

В уравнении (2.1) неизвестная y явно выражена через x. Такой способ задания называют явным. Чтобы, зная x, с помощью уравнения (2.2) найти y, надо это уравнение решить. Такой способ задания называют неявным.

Правило: чтобы найти точку (точки) пересечения двух линий, надо выписать систему, состоящую из уравнений этих линий, и решить ее.-^^

^^Часто это правило формулирует не виолне корректно: надо приравнять y. Это путь можно реализовать только при условии, что оба уравнения являются явными.

2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением прямой с угловым коэффициентом, называют уравнение вида

y = kx + b.

В нем коэффициент k имеет геометрический смысл тангенса угла между осью X и прямой.^^ Число k называют угловым коэффициентом прямой. Если k > 0, то график прямой возрастает. А если k < 0, то график прямой убывает. Число b имеет геометрический смысл координаты точки пересечения прямой с осью Y.

Рис. 1: Слева: k > 0; справа k < 0

Правило: Угловой коэффициент — это то, на что умножается x в явном, уравнении прямой. Примеры: 2y + 4 x = 6 и y = — 2 x + 3.

Задача 1. Составьте уравнение прямой, проходящей через заданную точ­ку (x о ,y о) с заданным угловым коэффициентом k.

Решение. Ответом является уравнение

y - y ₀ = k (x - x ₀).

Эту формулу надо знать наизусть.

2.3 Общее уравнение прямой

Не все прямые можно задать уравнением с угловым коэффициентом. А именно, исключепием является вертикальная прямая (см. рис. 2):

x

a.

тсчитываемого в направлении от оси к прямой.

Общим уравнением прямой называют уравнение

Ax + By + C = 0

в предположении, что хотя бы одно из чисел A, B не равно нулю. Это уравнение охватывает все тины прямых.

Рис. 2: Вертикальная прямая

2.4 Уравнение прямой,

проходящей через две заданные точки

Задача 2. Составьте уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x о ,y о) и (xi,yi).

Решение. Ответом является уравнение

x-x ₀

y ₁ -y ₀ x ₁ -x ₀

Универсальный способ построения прямых: надо нарисовать две точки, лежащие па прямой, и провести через них прямую.

2.5 Условие параллельности

и перпендикулярности прямых

Теорема 5. Пусть даны две прямые y = k1x + b1 иy = k 2 x + b 2- Для того чтобы эти прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

k ₁ = k ₂.

Для того чтобы прямые были перпендикулярны, необходимо и достаточ­но, чтобы

k ₁ k ₂

1.

Рис. 3: Идея доказательства теоремы 5

Задача 3. Дана прямая 2y+3x-7 = 0. Составьте уравнения двух прямых, проходящих через точку (5,9), одна из которых параллельна, а другая — перпендикулярна исходной.

Решение. Выясним, какой угловой коэффициент у исходной прямой:

(Угловой коэффициент — это то, на что умножается x в явном, уравнении

прямой.)

3 7 k 3

y 22 2

Выпишем уравнение параллельной прямой (используя задачу 1: y -y 0 = k(x -x ₀ )):

y - 9

Выиигпем уравнение перпендикулярной прямой (используя условие пер­пендикулярности k1k2 = - 1):

y- 9 = -(x- 5).

П

Глава 3

Пределы и непрерывность

3.1 Определение числовой последовательности

Числовой последовательностью или просто последовательностью на­зывают правило, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие действительное число Хп- Таким образом, последователь­ность — это функция, областью определения которой является множе­ство N натуральных чисел.

Последовательность можно задавать аналит,ически: Хп = п2, или пу­
тем перечисления членов (этот способ апалогичеи табличному заданию
функции): Xi = 1², Х2 = 2², жз = 3²,____

Пример 3.

Интуитивно последовательность моделирует движение в дискретном времени.

3.2 Определение предела последовательности

Говорят, что число в является пределом последовательности Хп-, если чем больше становится п, тем меньше Хп отличается от В. Символически это записывают так:

lim Хп = В.

Интуитивно определение предела означает следующее: с ростом n числа ближе и ближе подходят к B.

Пример 4. lim - = 0, последовательность xп = (—1)"^ не имеет предела,

п^оо

lim 2" = +00.

Бесконечности (оо, ± оо) — значки, пе имеющие точного буквально­го смысла. Имеется три символа бесконечности: +оо находится правее всех действительных чисел, а — оо — левее; оо (бесконечность без зна­ка) представляет собой склеенные вместе +оо и — оо (очень длинную прямую прикладывают к экватору и изгибают). В речи символы беско­нечности используются только в конструкциях типа "движение в сторону бесконечности". См. рис. 7.

3.3 Предел функции на бесконечности и в точке

(a) Говорят, что предел f(x) при x, стремящемся к +оо, равен B и
пишут

lim f(x) = B,

если чем больше становится x, тем меньше f(x) отличается от B.

(b) Говорят, что предел f(x) при x, стремящемся к —оо, равен B и
пишут

lim f(x) = B,

если чем меньше становится x, тем меньше f(x) отличается от B.

(c) Говорят, что предел f(x) при x, стремящемся к оо, равен B и пишут

lim f(x) = B,

если чем больше становится |x|, тем меньше f(x) отличается от B.

Рис. 1: Пределы функции на бесконечности

(c) Говорят, что предел f(x) при x, стремящемся к a, равен B и пишут

Ит f(x) = B,

если чем ближе x подходит к a, тем меньше f(x) отличается от B.

(d) Говорят, что предел f(x) при x, стремящемся к a справа, равен B и
пишут

Ит f (x) = B,

x^a+0

если чем ближе x подходит к a справа, тем меньше f(x) отличается от B.

Аналогично определяется предел слева

Ит f(x) = B.

См. рис. 3.

(e) Говорят, что предел f(x) при x, стремящемся к a, равен оо и пишут

Ит f(x) = оо,

x^a

если чем ближе x подходит к a, тем меньше f(x) отличается от оо. Аналогично определяется

Ит f(x) = ± 00 .

x^a

См. рис. 11 и 14. Задача 4. Проверить, что (см. графики на рис. 13, 14)

Ит - = О, И+ e^x = +оо, Ит e^x = О,

x

Ит— не сущ., Ит 1п x = +оо, Ит 1п x = —оо.

x^ 0 \x\ x ^+оо x ^0+0

Теорема 6. Для того чтобы двусторонний предел

Ит f(x)

x^a

равнялся B, необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела

Ит f(x) и Ит f(x)

x^a— 0 x ^ a +0

равнялись B.

\х\

Рис. 2: График функции y = f-

3.4 Основные теоремы о пределах

Соглашение: в выражении x ^ a иод a обычно будем понимать любой из символов оо, +00, —оо, само a, a + 0 или a — 0.

Теорема 7. Предел константы есть эта константа:

lim C = C.

Теорема 8. Функция не моукет иметь болыие одного предела.

Рис. 3: Графики разрывных функций. См также рис. 2

Теорема 9 (о пределе арифм. операций). Пусть пределы limf(x) и lim g(x) являются числами. Тогда

(a) lim(f (x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x);

(b) lim f (x) X g(x) = lim f (x) х lim g(x).

Частный случай: lim C х f (x) = C х lim f (x), где C — константа.

(c) lim = _x Г^ a при условии lim g (x) = 0.

a g (x)

lim g (x)

Теорема 10 (о пределе сложной функции). Пусть

lim u (x) = b

И

lim f (u) = f(b).

Тоща

limf(u(x)) = f(b).

3.5 Непрерывные функции

Функцию f называют непрерывной в точке a, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке:

lim f (x) = f (a).

Функцию называют непрерывной^ если она ненрерывна в каждой точ­ке a своей области определения. Геометрически непрерывность функции означает, что ее график — это непрерывная кривая.

Если функция не является непрерывной, то ее называют разрывной^ а точку, в которой непрерывность не имеет места, — точкой разрыва. См. рис. 3.

Следствие 11. Непрерывную функцию моукно выносить за знак преде­ла:

lim f (u (x)) = f (lim u (x)).

Теорема 12. Сумма, разность, нронзведенне и частное [на естественной области онределения) непрерывных функций — иепрерывпая функция. Слоясная функция, составленная из непрерывных функций — непрерыв­ная функция.

Теорема 13. Все основные элементарные функции непрерывны.

Теорема 14. Все элементарные функции непрерывны.

Пример 5.

lim e^x = e ⁴.

3.6 Бесконечно малые функции и их свойства

Говорят, что функция y = α(x) является бесконечно.малой (сокра­щенно б. м.) при x ^ a, если

lim α(x) = 0. Пример 6. ^ — б. м. при x ^ оо; x ^ — б. м. при x ^ 0; e^x — б. м. при

x.

Теорема 15. Для того чтобы lim f(x) = B, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = B + α(x) при x ^ a, где y = α(x) — б. м. при x ^ a.

Пример 7. lim _x ^оо ^ = lim _x ^оо(1 + ^) = 1. Свойства бесконечно малых функций:

(a) Сумма двух или конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

(b) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функ­цию есть бесконечно малая функция. Частные случаи: ироизведе-ние бесконечно малой функции на функцию, имеющую конечный предел, есть бесконечно малая функция; если бесконечно малую функцию разделить на функцию, имеющую ненулевой предел, то получится бесконечно малая функция.

3.7 Бесконечно больнгие функции и их свойства

Говорят, что функция y = ω(x) является бесконечно большой (сокра­щенно б. б.) при x ^ a, если

li mω(x) = ОО .

Пример 8. - — б. б. при x ^ 0; x ^ — б. б. при x ^ оо; ln x — б. б. при

x -^ +0; ln x — б. б. при x -^ +оо; e^x — б. б. при x -^ +оо; e ~ ^x — б. б. при x -^ —ОО.

Свойства бесконечно больы1их функций:

(a) Произведение бесконечно большой функции на функцию, имеющую ненулевой предел, есть бесконечно большая функция. Частный слу­чай: произведение двух бесконечно больших функций есть бесконеч­но большая функция.

(b) Сумма бесконечно большой функции и ограниченной функции есть бесконечно большая функция. В частности, сумма бесконечно боль­шой функции и функции, имеющей конечный предел, есть беско­нечно большая функция.

(c) Сумма двух или конечного числа бесконечно больших функций од­ного знака есть бесконечно большая функция.

Теорема 16. Для того чтобы функция у = а{х) была бесконечно ма­лой, необходимо н достаточно, чтобы функция у = —г^ была бесконечно большой. Для того чтобы функция у = и{х) была бесконечно больгной, необходимо и достаточно, чтобы функция у = ^jt^ была бесконечно ма­лой.

Пример 9. В силу теоремы 14 Ит х"^ = 0. Поэтому но теореме 16 Ит \ =

оо.

Приняты условные обозначения: { 0 } для бесконечно малой функции, { оо } — для бесконечно большой функции и {С} — для функции, имею­щей предел С. В этих обозначениях теорему 16 можно записать так:

а свойства бесконечно больших функций — так:

{ С-оо } = { оо }, С=0,

{ оо • оо } = { оо }, { оо + С} = { оо },

{ +оо } + { +оо } = { +оо }.

3.8 Раскрытие неопределенностей

Правило: При вычислении пределов всегда начинают с подстановки в функцию предельного значения. Если получится число, то в силу тео­ремы 14 оно и является пределом. Если результат подстановки удастся интерпретировать как свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, то также сразу получится ответ.

Пример 10.

x ^оо x

- = 1 = 1 = -

+ 1 oooo + 1 oo + 1 oo

Если же результат подстановки в функцию предельного значения не удается интерпретировать как свойства бесконечно больших и бесконеч­но малых функций, то говорят, что возникла неопределенность. Приме­ры: { ^ }, { ^ }, { 0 • оо }, { оо - оо }, { 1°° }, { 0*^ }, { оо*^ }. Вычисление таких пределов называют раскрытием, неопределенностей.

Многочленом называют функцию вида

p (x) = a{)xn + a1x^n- 1 + • • • + a_n

где a о, a 1, •••, a_n ^ заданные числа. Степенью многочлена называют наибольшую степень x, входягцую в многочлен. Например,

Ф p (x) = 2x2 - 3 x + 5 — многочлен степени 2;

Ф p (x) = 7 x - 1 — многочлен степепи 1;

Ф p (x) = 2 — многочлен степепи 0;

Ф p (n) = n^ + 3 n ² - n — многочлен от переменной n.

Задача 5. Найти предел

. 0

x 2 - 3 x + 2 г 0

lim

x-^2 x-^ - 5x2 + 6x

Решение. Нетрудно проверить, что при x, стремягцемся к 2, числитель и знаменатель этой дроби стремятся к нулю. Это означает, что x = 2 является корнем многочленов, стоягцих в числителе и знаменателе, по­этому и в числителе и в знаменателе можно выделить множитель (x - 2), а затем его сократить:

x 2 - 3 x + 2 (x-2)(x-1) x-1

x ^ - 5 x 2 + 6 x x(x - 2)(x - 3 ) x(x - 3 )

Теперь при x, стремящемся к 2, числитель стремится к 1, а знаменатель — к - 2. Поэтому предел равен - 1 / 2. Таким образом,

lim x^2 x

x 2 3 x + 2	x
			—
x-^ - 5 x 2 + 6x	x-^2 x(x	- 3)

Сформулируем общее правило: Если предел отношения двух многочле­нов (в конечной точке) представляет собой неопределенность { ₀ }, то чис­литель и знаменатель имеют общий множитель, на который можно со-

кратить.
Пример 11.
	lim 2
	i- im 1+ 1 1 + 0

П

1.

Правило: чтобы посчитать предел отношения многочленов при x -^ оо (представляющий собой неоиределенность {^}), надо в числителе и знаменателе вынести за скобку x в старшей степени, а затем старшие степени сократить.

Теорема 17 (предел рациональной функции).

0,	если n <m
ab 0 0,	если n = m
оо,	если n > m

lim------------ -------------- = _a ^, если n = m (a ₀, b ₀ = 0),

Правило: предел отношения многочленов при x ^ оо равен: 1) от­ношению коэффициентов при старишх степенях, если степень числите­ля равна степени знаменателя; 2) нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; 3) бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя.

{-} . оо

x ⁴ + 3 x + 1
lim ------------------------ = 0,

ж^оо 3x ⁵ + 8x ² + 6

ж^оо 4 x 2 + 3x

8 x 3 + 4 x- 5 8

lim

х^оо - 4 x 3 + 2 x 2 + 10

Задача б. Найти предел

а^^+оо v^ x 9 - x + 6 + лx оо35

2 x 2 + 6 x - 1 lim

Решение. Вынесем за скобку x ³ и сократим. Учитывая, что x ³ = л/ x 9

и x3 = x 6, получим

2 x 2 + 6 x - 1 x 3(2 /x + 6 /x 2 - 1 /x 3

lim --------------------------- = lim

2 /x + 6 /x 2 - 1 /x 3 0 + 0 - 0 0

= lim —, ------ , =---------------------- т= = - = 0. П

^-+°° ^1 - 1 /x 8 + 6 /x 9 + v^1 /x ⁵ л/1 - 0 + 0 + л/ 0 1

Пример 13.

lim (x - v x 2 + x) = оо - оо

ж^+оо

(x - лx2 + x)(x + лx2 + x )
lim------------------------------- -1 ---------------------------- =

х^+оо (x + лx ² + x)

lim ------------- ^ = — > = lim ------------------------- ■^^

х^+оо x + л - x ² + x OO ^^+оО x /'1+ /1 + 1

(1+1+ 1)

lim ^ = -.

Правило: чтобы раскрыть неопределенность, созданную разностью корней, стоит нонробовать умножить и разделить на сопряженное выра­жение.

Сопряженным к выражению лa - уb называют выражение л a + Основное свойство:

(л a - л b)(\ a + уb) = a - b.

(л/ a - v b)(V a 2 + л ab + л b 2) = a - b.

Задача 7. Найти предел

x - 3
lim-------- ,

а^^3 4 - л x +13

x - 3 =r0l= (x - 3)(4 + л x + 13) 34 - л x +13 0 Xim (4 - л x + 13)(4 + л x + 13)

Решение.
lim----- = - = lim

x

(x - 3)(4 + л x +13) (x - 3)(4 + л x +13)
lim------------------------------ = lim------------------------------ =

х^3 16 - (x + 13) х^3 3 - x

= lim(- 4 - л x + 13) = - 4 - л/3 + 13 = - 4 - 4 = - 8. П

ж^3

3.9 Первый замечательный предел