Аналитическая геометрия

Раздел 2.

Глава 3. Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок прямой. Из определения следует, что вектор имеет три характеристики: прямую на которой он лежит, направление по прямой и длину. Первые две характеристики объединяются одним понятием – направление. Обозначаются вектора по точкам начала и конца АВ или . Различают три вида векторов: свободные вектора, которые не меняются при параллельном переносе, вектора, которые можно переносить только по прямой на которой они лежат (например, вектора сил в механике) и радиус вектора, начало которых всегда находится в начале координат. Мы будем рассматривать только свободные вектора. Свободные вектора называют равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину (рис 3.1), т. е. параллельный перенос вектора не меняет. Свободные вектора обозначают одной буквой или а, b и т. д. Длину вектора обозначают при помощи модульных скобок = ç а ç= а.

Вектора складывают по правилу параллелограмма: совмещают концы векторов, строят на векторах как на сторонах параллелограмм; суммой векторов называют вектор диагонали исходящий их общего начала a + b = c (рис.3.2). Вектора можно складывать и по правилу треугольника (рис. 3.3). Правило треугольника можно применить к сумме любого числа векторов (рис 3.4)

Рис. 3.1

Рис. 3.2. Рис. 3.3. Сложение векторов

Умножение вектора на число λ идет по следующему правилу: при умножении на положительное число направление вектора сохраняется, при умножении на отрицательное – меняется на противоположное, а длина определяется по правилу (рис 3.5).

çλ а ç = а (3.2)

По определению a - b = a + (-1) b.

Рис. 3.4 Сложение нескольких векторов

Рис. 3.5. Умножение вектора на число

Проекцией вектора на ось ОХ называется число равноеразности координат проекций конца и начала вектора

pr_OX AB = x₂ – x ₁= ç AB çcos(α), (3.6)

где α - угол между вектором и осью (рис. 3.6).

Аналогично можно ввести проекцию вектора на оси OY и OZ:

pr_OY AB = y₂ – y₁= ç AB çcos(β) (3.6)

pr_OZ AB = z₂ – z₁= ç AB çcos(γ), (3.7)

где β и γ углы между вектором АВ и осями OY и OZ. Косинусы углов cos(α), cos(β) и cos(γ) называют направляющими косинусами

cos²(α)+cos²(β)+cos²(γ) = 1. (3.8)

Рис. 3.6. Проекция вектора на ось ОХ

Если ввести i, j и k - единичные вектора осей ОХ, OY и OZ (их называют ортами), то вектор

A₁B ₁ = i( x₂ – x₁), A₂B ₂ = j (y₂ – y₁) и A₃B ₃ = k (z₂ – z₁). (3.9)

По правилу сложения векторов (рис. 3.7):

AB = A₁B ₁ + A₂B ₂+ A₃B ₃= i( x₂ – x₁) + j (y₂ – y₁) + k (z₂ – z₁) ≡{ ( x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}.

Равенство

AB = { ( x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}(3.10)

называется «запись вектора в форме проекций».

Операции с векторами a, b заданными в форме проекций идут по следующему правилу:

a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂}

a + b = { (x₁+x₂), (y₁ + y₂), (z₁ + z₂)}; (3.11)

λ a = {λx₁, λ y₁, λz₁}. (3.12)

Скалярным произведением векторов a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂} называют число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

а × b = (a,b) = ç a ç· ç b çcos(Ð a, b) = x₁ x₂+ y₁ y₂ + z₁z₂. (3.13)

Скалярное произведение перестановочно: а × b = b × а. Если вектора перпендикулярны, то скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов используют для определения длины вектора

а × a = x₁x₁+ y₁y₁ + z₁z₁ = x₁²+ y₁² + z₁²Þ ç a ç= (3.14)

Замечание: скалярное произведение обозначается знаком .

Пример. Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

φ = 87⁰45'54^".

Векторным произведением векторов a и b называют такой вектор c = a ´ b, который:

1. лежит на прямой перпендикулярной плоскости векторов a и b,

2. имеет длину численно равную произведению длин векторов на синус угла между ними

ç c ç = ç a ç· ç b çsin(Ð a, b) = ç a ç· ç b ç sin(φ),

3. направление вектора c определяется по правилу буравчика: если вращать рукоять буравчика от первого вектора ко второму по наименьшему углу, то поступательное движение буравчика показывает направление вектора c.

Векторное произведение единичных векторов осей координат - ортов i, j, k равно

k = i ´ j, i = j ´ k, j = k ´ i. (3.15)

Векторное произведение не перестановочно: a ´ b = - b ´ a. Для коллинеарных векторов (лежащих на одной прямой) векторное произведение равно нулю a ´ b = 0, если a çç b. Для векторов заданных в форме проекций

с = a ´ b = = i (y₁z₂ – y₂z₁) - j (x₁z₂ – z₁x₂) + k (x₁y₂ – x₂y₁). (3.16)

Длина вектора векторного произведение численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах: S = ç a ç ç b çsin(φ).

Замечание: векторное произведение обозначается знаком .

Смешанным произведением векторов a, b и c называется векторно-скалярное произведение

a ´ b × c = a × b ´ c º a b c = , (3.17)

т. е. два вектора (первый – второй или второй – третий) перемножаются векторно, а третий вектор умножают на результат векторного произведения скалярно. В записи смешанного произведения знаки произведений обычно опускают. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Смешанное произведение используют для вычисления объема параллелепипеда и пирамиды, построенной на векторах a, b, c.

V_пар = ê a b c ê; V_пир = ê a b c ê.