double arrow

Аналитическая геометрия


Раздел 2.

Глава 3. Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок прямой. Из определения следует, что вектор имеет три характеристики: прямую на которой он лежит, направление по прямой и длину. Первые две характеристики объединяются одним понятием – направление. Обозначаются вектора по точкам начала и конца АВили . Различают три вида векторов: свободные вектора, которые не меняются при параллельном переносе, вектора, которые можно переносить только по прямой на которой они лежат (например, вектора сил в механике) и радиус вектора, начало которых всегда находится в начале координат. Мы будем рассматривать только свободные вектора. Свободные вектора называют равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину (рис 3.1), т. е. параллельный перенос вектора не меняет. Свободные вектора обозначают одной буквой или а, b и т. д. Длину вектора обозначают при помощи модульных скобок = çаç= а.

Вектора складывают по правилу параллелограмма: совмещают концы векторов, строят на векторах как на сторонах параллелограмм; суммой векторов называют вектор диагонали исходящий их общего начала a+ b= c(рис.3.2). Вектора можно складывать и по правилу треугольника (рис. 3.3). Правило треугольника можно применить к сумме любого числа векторов (рис 3.4)




       
 
Рис. 3.1
   
Рис. 3.2. Рис. 3.3. Сложение векторов
 


Умножение вектора на числоλ идет по следующему правилу: при умножении на положительное число направление вектора сохраняется, при умножении на отрицательное – меняется на противоположное, а длина определяется по правилу (рис 3.5).

çλа ç = а(3.2)

По определению a- b= a+ (-1)b.

       
 
Рис. 3.4 Сложение нескольких векторов
 
Рис. 3.5. Умножение вектора на число
 


Проекциейвектора на ось ОХ называется число равноеразности координат проекций конца и начала вектора

prOXAB= x2 – x 1= çAB çcos(α), (3.6)

где α - угол между вектором и осью (рис. 3.6).

Аналогично можно ввести проекцию вектора на оси OY и OZ:

prOYAB= y2 – y1= çABçcos(β) (3.6)

и

prOZAB= z2 – z1= çABçcos(γ) , (3.7)

где β и γ углы между вектором АВи осями OY и OZ. Косинусы углов cos(α), cos(β) и cos(γ) называют направляющими косинусами

cos2(α)+cos2(β)+cos2(γ) = 1. (3.8)

 
 
Рис. 3.6. Проекция вектора на ось ОХ


Если ввести i, j иk - единичные вектора осей ОХ, OY и OZ (их называют ортами), то вектор

A1B1 = i(x2 – x1),A2B2 = j(y2 – y1) иA3B3 = k(z2 – z1). (3.9)

По правилу сложения векторов (рис. 3.7):

AB= A1B1 + A2B2 + A3B3 = i(x2 – x1) + j(y2 – y1) + k(z2 – z1) ≡{(x2 – x1), (y2 – y1), (z2 – z1)}.

Равенство

AB= {(x2 – x1), (y2 – y1), (z2 – z1)}(3.10)

называется «запись вектора в форме проекций».



Операции с векторами a, b заданными в форме проекций идут по следующему правилу:

a = {x1, y1, z1)}; b = {x2, y2, z2}

a+ b ={ (x1+x2), (y1 + y2), (z1 + z2)}; (3.11)

λa = {λx1, λ y1, λz1}. (3.12)

Скалярным произведением векторов a = {x1, y1, z1)}; b = {x2, y2, z2} называют число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

а× b = (a,b) = ça ç· çb çcos(Ða, b) = x1 x2 + y1 y2 + z1z2. (3.13)

Скалярное произведение перестановочно: а×b=b×а. Если вектора перпендикулярны, то скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов используют для определения длины вектора

а× a = x1x1+ y1y1 + z1z1 = x12+ y12 + z12 Þ ça ç= (3.14)

Замечание: скалярное произведение обозначается знаком .

Пример. Найти угол φ между векторами и , если М1(1, -2, -3), М2(-3, 1, 1), М3(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

φ = 87045'54".

Векторным произведениемвекторов aи bназывают такой вектор c = a´ b, который:

1. лежит на прямой перпендикулярной плоскости векторов aи b,

2. имеет длину численно равную произведению длин векторов на синус угла между ними

çc ç = ça ç· çb çsin(Ða, b) = ça ç· çb ç sin(φ),

3. направление вектора c определяется по правилу буравчика: если вращать рукоять буравчика от первого вектора ко второму по наименьшему углу, то поступательное движение буравчика показывает направление вектора c.



Векторное произведение единичных векторов осей координат - ортов i, j, kравно

k = i´ j,i = j´ k, j = k´ i.(3.15)

Векторное произведение не перестановочно:a´ b = - b´ a. Для коллинеарных векторов (лежащих на одной прямой) векторное произведение равно нулюa´ b = 0, если aççb. Для векторов заданных в форме проекций

с = a´ b = = i(y1z2 – y2z1) - j( x1z2 – z1x2) + k( x1y2 – x2y1). (3.16)

Длина вектора векторного произведение численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах: S = ça ç çb çsin(φ).

Замечание: векторное произведение обозначается знаком .

Смешаннымпроизведением векторов a, bиc называется векторно-скалярноепроизведение

a´ b × c = a × b ´ c º a b c = , (3.17)

т. е. два вектора (первый – второй или второй – третий) перемножаются векторно, а третий вектор умножают на результат векторного произведения скалярно. В записи смешанного произведения знаки произведений обычно опускают. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Смешанное произведение используют для вычисления объема параллелепипеда и пирамиды, построенной на векторах a, b, c.

Vпар = êa b c ê; Vпир = êa b c ê.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1, -2, -3), А2(-3, 1, 1), А3(4, 3, -1), А4(3, 2, 2). Найти площадь грани А1 А2 А3 и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А1А2А3 найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед2.

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед3.







Сейчас читают про: