Плоскость и прямая в пространстве

Из геометрии известно, что через три точки M₀, M₁ и M₂ можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М₀М, М₀М₁ и М₀М₂, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение таких векторов равно нулю

М₀М М₀ М₁ М₀ М₂ = 0, (2.3)

или, в развернутой форме,

=0. (2.4)

Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Плоскость L в пространстве можно задать единственным образом, если известна точка M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор

N = { A, В, С}.

Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M(x, y, z) и построить вектор М₀М L, то векторы N и М₀М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю

N × М₀М =0 Þ A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. (2.5)

Это уравнение называется «уравнение плоскости, проходящей через данную точку».

Все уравнения плоскости можно свести к виду

Ax + By + Cz + D = 0. (2.6)

Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение Ax + By + Cz = 0 описывает плоскость, проходящую через начало координат.

Прямую в пространстве задаем как линию пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой

(2.7)

Если заданы точка М₀, лежащая на прямой, и параллельный прямой вектор

S = {m, n, p},

то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М₀ М.

Векторы М₀ М и S параллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат

. (2.8)

Это уравнение называется каноническим.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды

А ₁(1,-2,-3), А ₂(-3,1,1), А ₃(4,3,-1), А ₄(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости ,

2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А ₄ на грань .

Решение. 1. Уравнение плоскости запишем, используя каноническое уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

Подставив координаты точек А ₁, А ₂, А ₃, получим

Разложив последний определитель по элементам первой строки, будем иметь

или

2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонической системы уравнений прямой, проходящей через заданную точку А ₄ с известным направляющим вектором . За направляющий вектор возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. .