Системы координат на плоскости

Глава 1. Геометрия на плоскости

Прямая, на которой указано направление, начало отсчета и масштаб называется числовой осью. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоитиз двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке O – начале системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную - осью ординат.

Каждой точке плоскости M сопоставляется ориентированный отрезок OM (радиус-вектор с началом в точке О и концом в точке M. Спроектируем точку М на оси координат (рис.1.1). Каждой точке плоскости M сопоставляется упорядоченная пара чисел (х,y), которые называются декартовыми координатами точки М(х,у). В любой системе координат существует взаимнооднозначное соответствие между точкой и ее координатами. На плоскости расстояние d между двумя точками M(х_i,y_i) и N(x_j,y_j) измеряется по прямой и вычисляется по формуле длины вектора

d² = (x_i - x_j)² + (y_i - y_j)²

или (1.1)

.

Пример. Найти расстояние d между двумя точками M(-3,4) и N((5.2). Согласно формуле (1.1) имеем

.

Полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку O, называемую полюсом, и исходящую из нее полуось OP, называемую полярной осью. На полярной оси указываем единицу масштаба. В этой системе координат (рис.1.2) положение точки M задается ее расстоянием r до полюса (т.е. длиной отрезка OM, называемого полярным радиусом точки M) и углом j, который составляет полярный радиус с полярной осью (положительный отсчет угла идет против часовой стрелки), причем -p < j p или 0 j <2p. Числа r и j называются полярными координатами точки М(r, j).

Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс совпадают с полюсом и осью полярной системы координат (рис.1.3), то декартовы и полярные координаты точки М связаны м соотношением

х = r cosj y = r sinj. (1.2)

Формулы (1.2) выражают координаты точки M в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе. Отсюда

х² + y² = r²(cos²j+ sin² j)= r² . (1.3)

tgj = . (1.4)

Рис. 1.2. Полярная система координат. Рис. 1.3. Связь полярной и декартовой систем координат.

Преобразование системы координат. Пусть даны две прямоугольные системы координат X₁Y₁ и X₂Y₂ (рис.1.4 а). Найдем связь координат точки M(x₁,y₁) в одной из систем координат с ее же координатами (x₂,y₂) в другой системе. Для этого вначале совместим начала координат, сохраняя старые направления осей (рис.1.4 б), потом одну из систем повернем так, чтобы оси совпали направления координат.

Параллельный перенос системы координат. В первой системе координат точка O₁ имеет координаты (0,0), точка O₂ - (а,b), а точка M - (x₁,y₁). Рассматривая проекции этих точек на оси координат первой системы имеем

х₁ = а + x₂, y₁ = b + y₂. (1.5а)

	1.4 а. 1.4 б. Рис. 1.4. Преобразования координат.

Чтобы получить координаты во второй системе, необходимо провести обратные действия. Это приведет к зависимостям

x₂ = x₁ - a. y₂ = y₁- b. (1.5 б)

Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси OX₁ и OX₂ повернуты на угол j. Из рис. 1.4 б следуют соотношения

x₁ = x₂cosj - y₂ sinj (1.6)

y₁ = x₂ sinj - y₂ cosj.

В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями

х₁ = х₂cosj - y₂ sinj + a

y₁ = x₂ sinj + y₂ cosj + b (1.7)

или

x₂ = x₁ cosj + y₁ sinj - a

y₂ = -x₁ sinj + y₁ cosj - b.

Пример. Как изменятся координаты точки M(-2,3), если система будет повернута на 30⁰ и сдвинута вверх на две единицы?

Применяя формулы (1.7) для x₁= -2, y₂ = 3, угла j = 30⁰, а =0 и b = 2, имеем

x₂ = -2cos30⁰ + 3sin30⁰ = -2 + 3 = -

y₂ = 2sin30⁰ +3cos30⁰ - 2 = 2 + 3 -2 = - 1