2014-02-09
377
Приложения векторного произведения
1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, равен 
(объем тетраэдра, меньше объема соответствующего параллелепипеда в ______ раз).
1а. Векторы компланарны 
.
2. Тройка правая 
; тройка левая 
.
Последовательность 
из
действительных чисел, расположенных в определенном порядке, называется 
- мерным вектором. Совокупность всех -мерных векторов 
(
) обозначим 
. Введем в операции сложения и умножения на вещественное число поэлементно: 
,
нуль-вектором назовем вектор, все координаты которого равны нулю: 
.
Множество, на котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие обычным свойствам арифметических действий, называется линейным пространством. Т.о., множество с введенными выше операциями является линейным пространством.
Совокупность из 
векторов пр-ва будем называть линейно независимой, если их линейная комбинация
(*)
лишь при условии 
. В противном случае, т.е. если существуют такие числа 
не все равные нулю, что выполняется равенство (*), совокупность 
назовем линейно зависимой.
Векторы 
в пространстве 
являются линейно зависимыми, т.к. существует их нетривиальная (не все 
равны нулю) линейная комбинация, равная нуль-вектору: 
.
Обозначим 
– вектор из , все координаты которого равны нулю, за исключением 
-ой, которая равна 
:
.
- Эта система векторов линейно независима;
- любой вектор 
единственным образом можно представить в виде линейной комбинации этих векторов:
