2014-02-24
504
Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из 2-х этапов: на первом выбирают вид искомой формулы (строится теоретическая линия регрессии), а на втором – для данной формулы подбирают параметры. На рисунке 8.2 (левая часть) приведены опытные данные, для которых в качестве эмпирической формулы (полученной на основании опытных данных) можно принять линейную зависимость.
Для данных, приведённых на правой части рис. 8.2, эмпирическую зависимость целесообразно принять в виде. В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму
| , | (8.4) |
где – значения опытных данных, – значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке, – число опытов.
В случае линейной эмпирической формулы сумма (8.4) принимает вид
| , | (8.5) |
а в случае квадратической зависимости – следующий вид:
| (8.6) |
Минимум функции (8.5) и (8.6) имеют в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль. В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений. В случае линейной эмпирической зависимости составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:
| (8.7) |
В случае квадратической зависимости нормальная система состоит из 3-х уравнений с 3-я неизвестными:
Для гиперболической зависимости:
Пример 8.1. Опытные данные о значениях x и y представлены в следующей таблице:
Таблица 8.1 – Исходные данные
| X | ||||||
| Y | -4 | -10 |
Анализ опытных данных показывает, что в качестве эмпирической зависимости можно использовать линейную зависимость. Найти методом наименьших квадратов значение a и b.
Подставляя полученные в таблице 8.2 данные в систему уравнений (8.7), получаем:;.
Эмпирическая формула принимает вид:.
Не существует общего правила для выбора подходящего вида эмпирической формулы; можно лишь догадываться о подходящей формуле уравнений по форме кривой, изображающей данные. Однако существуют способы, с помощью которых можно проверить, является ли догадка удачной или нет.
Таблица 8.2 – Расчёт вспомогательных данных для получения уравнения регрессии в примере 8.1
| №№ | x i | y i | x i 2 | x i y i |
| -4 | -20 | |||
| -10 | -60 | |||
| S | -31 |
Для наиболее часто встречающихся зависимостей с двумя параметрами, а именно: I), II), III), IV),
V), VI), VII), эмпирическую формулу можно выбирать с помощью таблице 8.3.
Таблица 8.3 – Расчёт вспомогательных величин и для получения уравнений регрессий различных видов
| Номер формулы | Вид эмпирической формулы | ||
| I | y=ax + b | ||
| II | y=axb | ||
| III | y=abx, y=aebx, где b=ln b | ||
| IV | |||
| V | |||
| VI | |||
| VII | y = a lgx + b |
