Условные законы распределения. Определение.Условным законом распределения одной из случайной величины, входящих в систему , называется закон её распределения

Определение. Условным законом распределения одной из случайной величины, входящих в систему , называется закон её распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение (или попала в некий интервал).

В случае двух дискретных случайных величин условным законом распределения случайной величины при условии называется вероятность

.

Аналогично определяется условный закон распределения дискретной случайной величины при условии :

.

X Y
	0,1	0,2	0,15
	0,3	0,1	0,15

Пример 6.1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей

Найти: а) законы распределения случайных величин и .

б) функцию распределения д.с.в. Х.

в) условный закон распределения с.в. Y при Х = 1.

г) вероятность события .

Решение.

а) Случайная величина Х принимает два значения: х ₁ =1 и х ₂ =2 с вероятностями

р ₁ = 0,1 + 0,2 + 0,15 = 0,45 и р ₂ = 0,3 + 0,1 + 0,15 = 0,55.

Случайная величина Y принимает три значения: у ₁ =1, у ₂ =2 и у ₃ =3 с вероятностями р ₁ = 0,1 + 0,3 = 0,4, р ₂ = 0,2 + 0,1 = 0,3 и р ₃ = 0,15 + 0,15 = 0,3.

Х P

0,45

0,55

Y P

0,4

0,3

0,3

Следовательно, законы распределения с.в. Х и Y можно представить в виде

б) В соответствии с формулой получаем:

если 0;

если 0;

Р (Х =1, Y =1) = 0,1;

Р (Х =1, Y =1) + Р (Х =1, Y =2) = 0,1+ 0,2 = 0,3;

Р (Х =1, Y =1) + Р (Х =1, Y =2) + Р (Х =1, Y =3) = 0,1+ 0,2 +

+ 0,15 = 0,45;

если 0;

Р (Х =1, Y =1) + Р (Х =2, Y =1) = 0,1+ 0,3 = 0,4;

Р (Х =1, Y =1) + Р (Х =1, Y =2) + Р (Х =2, Y =1) + Р (Х =2, Y =2) =

= 0,1+ 0,2+ 0,3+ 0,1 = 0,7;

Р (Х =1, Y =1) + Р (Х =1, Y =2) + Р (Х =1, Y =3) + Р (Х =2, Y =1) +

+ Р (Х =2, Y =2) + Р (Х =2, Y =3) = 1.

Таким образом, функция распределения с.в. Х и Y имеет вид

		0,1	0,3	0,45
		0,4	0,7

в) Условный закон распределения при условии, что Х=1, получим, если вероятности значений найдем с помощью формулы .

Так как , то

, , .

Таким образом, условный закон распределения с.в. при Х=1 имеет вид

Y
РХ=1

г) Для нахождения вероятности события складываем вероятности событий для которых . Получим Р = 0,2 + 0,15 + 0,15 = 0,5.