2014-02-09
411
Свойства коэффициента корреляции
1) 
.
2) Если 
и 
- независимые случайные величины, то 
.
3) Если случайные величины и связаны линейной зависимостью, то 
.
Определение. Случайная величина 
называется распределенной по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид:
,
где 
.
Из определения следует, что двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: 
.
Параметры 
и 
выражают математические ожидания случайных величин и , параметры 
и 
- их дисперсии, а 
- коэффициент корреляции между случайными величинами и .
Плотности вероятности одномерных случайных величин и равны:
, 
.
Каждый из законов распределения одномерных случайных величин и является нормальным с параметрами соответственно 
и 
.
Найдём условные плотности вероятности случайных величин и по формулам:
и аналогично
.
Каждый из условных законов распределения случайных величин и является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемыми по формулам:
, 
,
, 
.
Из этих формул следует, что линии регрессии 
и 
нормально распределенных случайных величин представляют собой прямые линии, то есть нормальные регрессии по и по всегда линейны.
Условные дисперсии 
и 
(а значит и условные стандартные отклонения 
и 
) постоянны и не зависят от значений 
и 
.
