Компактность интегральных операторов

Покажем, что если функции K (t, s) удовлетворяют некоторым условиям, то интегральные операторы с ядром K (t, s) являются компактными в соответствующих пространствах.

Теорема 8.1. Пусть W – ограниченная область в R ⁿ и пусть K (t, s) – функция, определенная на и удовлетворяющая следующим условиям:

1) существует постоянная C такая, что

;

2) для любого e >0 существует d >0 такое, что из неравенства | t ₁–
– t ₂|< d следует .

Тогда интегральный оператор, действующий по формуле

компактен в .

Доказательство. Так же, как и в примере 15.6 курса «Функциональный анализ. Часть 1», проверяем, что оператор A действует из в и ограничен. Возьмем ограниченное множество M в , т. е. для x Î M. Тогда множество A (M) ограничено в . Для доказательства предкомпактности множества A (M) достаточно показать в силу теоремы 13.5 курса «Функциональный анализ. Часть 1», что оно равностепенно непрерывно. Проверим равностепенную непрерывность A (M). Для e / C ₁>0 возьмем d >0 из условия 2) теоремы 8.1. Тогда если | t ₁– t ₂|< d / C ₁, то

Теорема доказана.

Следствие 8.1. Если K (t, s) – непрерывная функция двух переменных в ограниченной замкнутой области ÌR ⁿ, то интегральный оператор с ядром K (t, s) компактен в .

Доказательство. Проверим выполнение условий 1) и 2) теоремы 8.1. Условие 1) следует из ограниченности функции K (t, s). В силу равномерной непрерывности функции K (t, s) для любого e >0 существует d >0 такое, что для любых t ₁– t ₂Îи удовлетворяющих условию | K (t ₁, s)– K (t ₂, s)|< e / m (W) выполнено | t ₁– t ₂|< d. Тогда и условие 2) выполнено. Следствие доказано.

Замечание 8.1. В условиях следствия компактность оператора A можно доказать следующим образом. Согласно теореме Вейерштрасса, существует последовательность многочленов K_n (t, s), равномерно сходящаяся к непрерывной функции K (t, s) на . Интегральные операторы конечного ранга

сходятся по норме к оператору A (см. пример 1.1). Оператор A компактен как предел последовательности компактных операторов.

Теорема 8.2. Пусть (T, S, m) – пространство с конечной или s -конечной мерой, функция K (t, s)Î L ₂(T ´ T), т. е. она измерима и

Тогда интегральный оператор с ядром K (t, s) компактен в пространстве L ₂(T, m).

Доказательство. Согласно примеру 1.2, интегральный оператор A является пределом по норме интегральных операторов A_n конечного ранга. Следовательно, A компактен. Теорема доказана.

Следствие 8.2. Если W – ограниченная область в R ⁿ и ядро K (t, s) непрерывно на , то интегральный оператор с ядром K (t, s) компактен в L ₂(W).

Интегральные операторы, удовлетворяющие условиям теоремы, называются операторами Гильберта–Шмидта.

Приведем один из результатов для пространств L_p.

Теорема 8.3. Пусть W – ограниченная область в R ⁿ и пусть ядро K (t, s) непрерывно в . Тогда интегральный оператор A с ядром K (t, s) является компактным оператором в L_p (W) при 1£ p <+¥.

Доказательство. Пусть M – ограниченное множество в L_p (W). Покажем, что множество A (M) предкомпактно в L_p (W).

Пусть и для x Î M. Тогда

В силу равномерной непрерывности функции K (t, s) по e ₁= e [ m (W)]^–^1/ ^q (C ₂)^–¹ можно найти e >0 такое, что при | t ₁– t ₂|< d выполняется | A x (t ₁)– A x (t ₂)|< e. Это означает, что множество A (M) принадлежит и предкомпактно в нем. Тогда у любой последовательности A x_n, x_n Î M, существует равномерно сходящаяся подпоследовательность, а из равномерной сходимости следует сходимость в L_p (W). Следовательно, A (M) предкомпактно в L_p (W). Теорема доказана.

Замечание 8.2. Для других классов ядер проверку компактности в L_p (W) можно проводить с помощью критерия предкомпактности множества в L_p (W) (см. теорему 13.9 курса «Функциональный анализ. Часть 1») или с помощью аппроксимации операторами конечного ранга.

Замечание 8.3. В ходе доказательства теоремы 8.3 установлено следующее свойство: если ядро K (t, s) непрерывно в и функция x Î L_p (W), где W – ограниченная область в R ⁿ, то является непрерывной функцией.

Теорема 8.4. Интегральный оператор со слабополярным ядром K (t, s) компактен в пространстве C [ a, b ].

Доказательство. В примере примере 1.4 построена последовательность непрерывных функций K_n (t, s) такая, что интегральные операторы A_n с ядрами K_n (t, s) сходятся по норме к оператору A. Операторы A_n компактны в силу следствия 8.1 теоремы 8.1 и, значит, компактен оператор A как предел последовательности компактных операторов. Теорема доказана.

Замечание 8.4. В случае пространства R ⁿ ядро интегрального оператора K (t, s) называется слабополярным, если оно может быть представлено в виде

K (t, s)= K ₀(t, s)| t – s |^– ^a, (4) где a < n, расстояние между точками t и s в R ⁿ, K ₀(t, s) – непрерывная функция. Аналогично теореме 8.4 получаем, что если W – ограниченная область в R ⁿ, то интегральный оператор со слабополярным ядром компактен в пространстве .

Теорема 8.5. Пусть W – ограниченная область с R ⁿ и пусть ядро K (t, s) представляется в виде (4), где a < n /2 и K ₀(t, s) – ограниченная измеримая функция. Тогда интегральный оператор с ядром K (t, s) компактен в пространстве L ₂(W).

Доказательство. Согласно теореме 8.2, достаточно проверить, что

Пусть | K ₀(t, s)|£ C ₁ и | t – s |£ R для любых t и s из W. Тогда

, (5)

где – площадь единичной сферы в пространстве R ⁿ. В силу условия a < n /2 последний интеграл в (5) существует и справедливо неравенство

, (6)

из которого после интегрирования по t получаем (4). Теорема доказана.

Замечание 8.5. Слабополярное ядро при a < n /2 удовлетворяет условию (6), более сильному, чем необходимо для компактности оператора A. Это условие будет использовано далее в теореме Гильберта–Шмидта.

Приведем пример интегрального оператора, который не является компактным. Пусть K Î L ₁(R) и оператор A действует в L ₂(R) по формуле

После преобразования Фурье оператор A перейдет в оператор умножения на функцию , который не является компактным (см. п. 7^° раздела 8.1).

Замечание 8.6. Условие a < n в замечании 8.3 существенно: если a = n и K ₀(t, s)¹0, то интегральный оператор с ядром K (t, s) не является даже ограниченным в пространстве .

Замечание 8.7. Если компактный оператор A : X ® X имеет ограниченный обратный A ^–¹, то тождественный оператор I = A A ^–¹ по свойству 2 раздела 8.1 является компактным и, значит, пространство X конечномерно. Поэтому для уравнений A x = y с компактным оператором A в бесконечномерных пространствах всегда неверна теорема существования и единственности решения. Это относится, в частности, к интегральным уравнениям первого рода