Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Теорема. Если событие может наступить только при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу, то вероятность события равна сумме произведений каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события , т. е.

Поскольку заранее не известно, какие из событийнаступят, то их называют гипотезами.

Часто, приступая к анализу вероятностей, мы имеем предварительные значения вероятностей, интересующих нас событий. После проведения испытания эти вероятности могут несколько уточняться.

Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие . Необходимо найти вероятности гипотез , после того как испытание произведено, т. е. условные вероятности гипотез .

Найдем сначала условную вероятность .

По теореме умножения .

Отсюда .

Аналогично выводятся формулы остальных гипотез.

В общем случае условная вероятность любой гипотезы , где , определяется как .

Последняя формула называется формулой Байеса. Она позволяет переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Пример 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна , а ко второму - Вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым контролером, равна , а вторым - .