2014-02-09
948
Свойства
Свойства
Обозначения
Определение
История
Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
Число называется пределом числовой последовательности, если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа, её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:
·;
·.
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
· Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
o Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
o Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
· Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
· Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
